10 nombres complexes 1

10. NOMBRES COMPLEXES
A. L’ESSENTIEL DE PREMIERE :
1. Forme algébrique d’un nombre complexe :
Un nombre complexe est un nombre qui s’écrit : ___________________________avec i² = – 1.
Le réel x est la partie réelle ; le réel y est la partie imaginaire.
Le nombre complexe z = x + iy a pour image le point du plan M( x ; y ).
On dit que z = x + iy est _______________________________________ du point M .
On appelle ________________________ du nombre complexe z = x + iy et on note  le nombre :
___________________________________.
L’ensemble des nombres complexes est noté :  ; il contient l’ensemble  .
2. Calculs sous forme algébrique :
Les calculs dans  se font comme dans  , en utilisant la distributivité et i² = – 1.
Quotient :
Propriété : Pour tout z = x + iy , où x et y sont deux nombres réels , on a z = x² + y² .
Méthode pour calculer un quotient de deux nombres complexes :
Pour obtenir la forme algébrique du quotient 
 ( avec z’  0) , on multiplie numérateur et
dénominateur par le conjugué du dénominateur  .
Exemples : déterminer la forme algébrique de :
Z1 = 
 =
Z2 = 
 =
3. Affixe d’un point du plan :
Définition :
Soit M( x ; y ) le point d’affixe z = x + iy dans un repère
orthonormé ( O ; 
 ) .
On appelle _______________________ de z
Et on note  la distance OM :  = 
Si z est non nul ; on appelle : ____________________
et on note arg(z)= , toute mesure de l’angle (
; 
)
Tout nombre complexe z peut s’écrire :
z = ( cos + i sin ) où  est une argument de z et = .
On note z = [ ; ] : _________________________

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Passage d’une forme à l’autre :
Propriétés :
1. Si z est un nombre complexe de forme trigonométrique : z = [ ;] alors :
_______________________________________________________
2. Si z = x + iy alors  et  sont définis par :  = _____________________________________
et 
Exemples :
Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z
de module 
 et d’argument : –   :
Déterminer la forme trigonométrique de
z = 2 – i 2 
B. FORME EXPONENTIELLE :
1. Définition : Pour tout nombre complexe z non nul de module  et d’argument , on écrit :
z=.
Cette écriture est appelée : ____________________________________________________
Remarques : On a en particulier :    et 
 = i .
2. Calculs sous forme exponentielle : On va utiliser les propriétés des puissances.
Multiplication
() × ( = _____________________________
Puissance
()n = _____________________________________
Inverse
 = _______________________________________
Quotient
 = ______________________________
Exemples : calculer sous formes exponentielles : z1 = 2
 ×  ; z2= 
 ; z3 =   .