td 2 : nombres complexes et equations algébriques - math.univ

Universit´e de Tours Ann´ee 2016-2017
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique, Physique, Chimie, Sciences de la vie - S1
TD 2 : NOMBRES COMPLEXES ET EQUATIONS ALG´
EBRIQUES
Exercice 1
1) a) ´
Ecrire sous forme trigonom´etrique les nombres complexes 2i, 4 4iet 2+23i.
b) Repr´esenter ces nombres dans le plan R×R.
2) ´
Ecrire sous forme alg´ebrique le nombre complexe i13i
3+2i
3) Soit θR. Calculer les parties r´eelle et imaginaire de z=1 + e
1e, apr`es avoir pr´ecis´e pour
quelles valeurs de θce nombre complexe zest bien d´efini.
4) Soit θ[π, π]. D´eterminer graphiquement un argument et le module de 1 + e.
Exercice 2
On consid`ere les trois nombres complexes z1=2 + i2, z2=3 + iet z3=z1
z2
.
1) Donner les formes trigonom´etriques de z1et z2.
2) Donner les formes alg´ebriques et trigonom´etriques de z3. En d´eduire cos π
12 et sin π
12.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, d´eterminer l’ensemble des points Md’affixe zsatisfaisant la
condition
i)|z3|=|z3i|ii)|23i+z|=|2+ 2i|ii)|1 + i+z|=|2+ 23i|iii)zi
z+iR
Exercice 4
Montrer que pour tous z, z0Con a ||z|−|z0|| ≤ |zz0|.
Exercice 5
1) Utiliser la formule de Moivre pour exprimer cos(3θ) en fonction de cos θ, et sin(3θ) en
fonction de sin θ.
2) “Lin´eariser” cos4θet cos3θsin2θ.
Exercice 6
1) Donner la formule permettant de calculer la somme de nombres en progression g´eom´etrique,
c’est-`a-dire
n
X
k=0
zko`u zest un nombre complexe et nest un nombre entier naturel.
2) Soit θR. Calculer la somme 1 + cos θ+ cos 2θ+··· + cos .
1
Exercice 7
R´esoudre les ´equations suivantes
z2+ 2z+ 2 = 0 , z2= 2i , z2+ 6iz 13 = 0 , z2=15 + 8i , z2(5 + 3i)z+ 7i+ 4 = 0.
Exercice 8 D´eterminer les paires de nombres complexes dont la somme est ´egale `a 2 et le
produit est ´egal `a 9. Y en a-t-il d’autres ?
Exercice 9
Pour tout nN, on note Unl’ensemble des racines n-i`emes de l’unit´e.
1) D´eterminer U12 et repr´esenter cet ensemble dans le plan complexe.
2) Justifier les inclusions U2U4U12,U3U6U12 et les identifier graphiquement.
3) R´esoudre dans Cl’´equation z11 = ¯z.
Exercice 10 R´esoudre les ´equations z3=8, z4= 4iet z3=2+2i.
Exercice 11
1) Effectuer la division euclidienne du polynˆome 3x5+2x4x2+1 par le polynˆome x3+x+2.
2x5+x3x2+ 1 par le polynˆome x3+x21.
2) Effectuer la division euclidienne du polynˆome x4x3+x2 par le polynˆome x22x+ 1.
Exercice 12
1) ´
Ecrire le polynˆome B(x) = x22x1 comme produit de polynˆomes irr´eductibles.
2) Effectuer la division euclidienne du polynˆome A(x)=2x54x42x3+ 3x25x4 par
le poynˆome B.
3) En d´eduire la valeur de A(1 + 2).
Exercice 13
Pour chacun des polynˆomes suivants, d´eterminer les racines complexes et les racines r´eelles,
factoriser en un produit de polynˆomes irr´eductibles complexes et factoriser en un produit de
polynˆomes irr´eductibles r´eels.
x4+ 1 ,(x41)2,2x3+ 11x220x+ 7 , x4+x3+x2+x+ 1 et
x22xcos α+ 1, o`u αest un nombre r´eel fix´e.
Exercice 14
Soit nun nombre entier 2. D´emontrer que le polynˆome nxn+2 (n+ 2)xn+1 + (n+ 2)xn
est divisible par le polynˆome (x1)3.
Exercice 15
En utilisant la version 4 du th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre, d´emontrer que tout polynˆome
r´eel de degr´e impair poss`ede au moins une racine r´eelle, et plus pr´ecis´ement un nombre impair
de racines r´eeles.
Exercice 16
Soient P(z) et Q(z) deux polynˆomes de degr´e n, qui co¨ıncident pour n+ 1 valeurs distinctes
de la variable z. Montrer que P=Q.
Exercice 17
D´emontrer la formule de Taylor pour les polynˆomes.
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