Licence de Mathématiques L3 Semestre 6 année 2015–2016

Licence de Math´ematiques L3 Semestre 6 ann´ee 2015–2016
Equations Diff´erentielles
Examen Mai 2016
Dur´ee : 3 heures
Documents et calculatrices interdits
Le sujet est compos´e de 5 exercices ind´ependants
Exercice 1 ( 4 points)
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y′=f(y) (1)
avec f:R→Rdonn´e par
f(y) = 
0 si y≤0,
ysi 0 < y ≤1,
1 si y > 1.
(a) Montrer que pour tout (t0, y0)∈R2il existe une et une seule solution globale yde (1)
v´erifiant y(t0) = y0.
(b) Obtenir cette solution explicite dans le cas o`u t0= 0 et 0 < y0<1.
Exercice 2 ( 3.5 points)
On consid`ere l’´equation diff´erentielle
y′=ty +t
y.(2)
(a) Quel est le type de cette ´equation ?
(b) Montrer que ∀y0∈R∗il existe une solution maximale unique de (2) v´erifiant y(0) = y0.
(c) On pose z(t) = y(t)2. Montrer qu’alors zest solution de z′= 2tz + 2tet r´esoudre cette
´equation.
(d) R´esoudre (2) avec la condition initiale y(0) = 2. Donner le domaine de d´efinition de la
solution maximale.
Exercice 3 ( 4 points )
Soient M, N :R2→Rdeux fonctions de classe C1telles que la fonction
∂M
∂y (x, y)−∂N ∂x (x, y)
M(x, y)
ne d´epend pas de la variable x. On pose Fla fonction donn´ee par
F(y) =
∂M
∂y (x, y)−∂N ∂x (x, y)
M(x, y)
1

et on suppose que Fest continue.
(a) On consid`ere l’´equation diff´erentielle
N(x, y(x))y′(x) + M(x, y(x)) = 0.
(i) Soit µ:R→Rune fonction de classe C1. Montrer que l’´equation diff´erentielle
µ(y)N(x, y)y′+µ(y)M(x, y) = 0
admet une int´egrale premi`ere si et seulement si µv´erifie l’´equation
dµ(t)
dt +F(t)µ(t) = 0.(3)
(ii) R´esoudre l’´equation (3), c’est `a dire, d´eterminer µen fonction de Fet t.
(b) On veut appliquer cette m´ethode pour r´esoudre l’´equation
(2x3y(x) + x3y4(x))y′(x) + 3x2y2(x) = 0.(4)
(i) Quelle est la fonction Fassoci´ee `a cette ´equation ? Les hypoth`eses pr´ec´edentes sont-
elles v´erifi´ees par F?
(ii) D´eterminer la fonction µassoci´ee qui v´erifie de plus µ(0) = 1.
(iii) En utilisant cette fonction µ, transformer (4) en une ´equation admettant une int´egrale
premi`ere (aussi appel´ee ´equation exacte ) et calculer la solution (sous forme implicite).
Exercice 4 ( 5 points)
On consid`ere le syst`eme diff´erentiel
x′= 2y
y′=x−y(5)
(a) D´eterminer la solution de (5) correspondant `a la condition initiale x(0) = x0,y(0) = y0.
(b) Soit γ(t) = (x(t), y(t)) la courbe int´egrale de (5) v´erifiant γ(0) = (x0, y0).
(i) Pour quelles donn´ees initiales cette courbe est-elle une demi-droite ?
(ii) Pour quelles donn´ees initiales cette courbe tend vers 0 quand t→ ∞ ?
(c) En se basant dans les r´esultats pr´ec´edents, dessiner le portrait de phase en respectant le
sens des courbes.
(d) La solution nulle est-elle stable ? Justifier.
Exercice 5 ( 6 points)
Etant donn´ee une courbe param´etr´ee par t∈R, avec courbure et torsion donn´ees par des
fonctions c, τ :R→Rcontinues, les formules de Serret-Frenet permettent de r´eduire l’analyse
de la courbe `a l’´etude du syst`eme suivant :
x′(t) = c(t)y(t),
y′(t) = −c(t)x(t) + τ(t)z(t),
z′(t) = −τ(t)y(t),
(6)
2

avec conditions initiales (x(0), y(0), z(0)) = (x0, y0, z0).
(a) Justifier que pour tout (x0, y0, z0)∈R3, il existe une unique solution globale de (6).
(b) Montrer que si la condition initiale v´erifie x2
0+y2 0+z2 0= 1, alors la solution v´erifie x2(t) +
y(t)2+z2(t) = 1, pour tout t∈R.
On suppose d´esormais que c(t) = 8t3et τ(t) = 0, pour tout t∈R.
(c) Montrer que z(t) = z0pour tout t∈R. Conclure que si
x0=1
2√2, y0=1 2√2, z0=√3
2,
alors la solution est contenue dans un cercle dans le portrait de phases. D´eterminer le centre
et rayon de ce cercle.
(d) Pour obtenir la matrice fondamentale du syst`eme, on suppose que z0= 0 et on introduit la
variable
η(t) = y(t)
1 + x(t).
(i) En utilisant (b), montrer que η2+ 1 = 2
1 + x. En d´eduire que x=1−η2 1 + η2,y=2η 1 + η2
et que ηv´erifie l’´equation `a variables s´eparables :
η′=−4t3(η2+ 1).(7)
(ii) R´esoudre l’´equation (7) avec les conditions initiales suivantes : η(0) = 0 et η(0) = 1.
D´eterminer l’intervalle maximal de d´efinition dans chaque cas.
(e) En d´eduire l’expression explicite pour la matrice fondamentale G(t) associ´ee au syst`eme de
Serret-Frenet (6).
Indication : on pourra utiliser les identit´es trigonom´etriques :
1−tan2(θ)
1 + tan2(θ)= cos(2θ),2 tan(θ) 1 + tan2(θ)= sin(2θ).
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