mecanique : vitesse - Univ

MECANIQUE : VITESSE
La vitesse caractérise la rapidité avec laquelle un mobile passe d’une position à une autre : elle fait donc appel à la notion de position dans l’espace, et à la notion de temps.
1 : Notion de temps :
Date : pour situer un événement dans le temps, on le "date" par rapport à une origine.
Exemple : Arthur a eu quarante-cinq ans le 30 avril 2001 ; pour lui, l'
origine des dates est
donc le 30 avril 1956.
Le choix de l'
origine est arbitraire : les Romains comptaient les années avant ou
après la fondation de Rome, et le Nouvel An n’est pas fêté en même temps par tout le
monde ...
Durée : la durée est l'
intervalle de temps qui sépare deux dates. Elle est indépendante du choix de l'
origine.
Exemple : la durée moyenne d'
un téléfilm est de 90 minutes.
L'
unité légale de temps est la seconde (s).
2. Equations(s) horaires(s) :
Décrire un mouvement, c'
est pouvoir donner la position du mobile à chaque instant.
Après avoir choisi un référentiel et un repère lié à ce référentiel, on peut, pour décrire un
mouvement :
-
donner les trois coordonnées ( x, y, z )
du point M à chaque instant (Fig. 1) ;
les trois équations:
x = f(t) , y = g(t) , z = h(t) ,
Figure 1
sont appelées équations horaires du mouvement.
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- donner l'
équation f(x, y) ou f(x, y, z) = 0 de la trajectoire dans le repère, et choisir une origine O’ sur cette
O’
trajectoire pour définir une abscisse curviligne s (Fig.
2) : l'
équation horaire du mouvement est alors s = f(t), où
Figure 2
s représente la longueur de l’arc de courbe OM, avec le
signe + si le parcours se fait dans le sens positif choisi,
et le signe – dans l’autre cas.
3. Equations(s) horaires(s) et trajectoire :
Au lieu de tracer point par point les positions succesives du mobile en faisant varier
la date, il est possible de déterminer la trajectoire à partir des équations horaires. Le résultat permet de situer le mobile dans l’espace, mais plus dans le temps. Pour cela, on exprime la date en fonction de l’une des coordonnées, en choisissant l’équation la plus simple, et on reporte l’expression obtenue dans les autres équations horaires.
Exercice résolu
Enoncé : un mobile a pour équations horaires :
x = 4t + 20
z = -5t² + 3t + 30
quelle est l’équation de sa trajectoire ?
Solution : la plus simple des deux équations horaires est celle qui lie x à t :
x = 4t + 20
⇔
t = (x – 20 )/4 = x/5 – 4
en reportant cette expression dans z(t), on obtient :
z = -5(x/5 – 4)² + 3(x/5 – 4) + 30
qui, une fois développé, donne :
z = -5(x²/25 – 8x/5 + 16) + 3(x/5 – 4) + 30 = - x²/5 + 8x – 90 + 3x/5 – 12 + 30
= -x²/5 + 43x/5 – 48
qui est l’équation d’une parabole.
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Un déplacement du mobile de la position M1 à la position M2 peut donc être repéré :
→
→
→
- par un vecteur déplacement : M1M2 = OM2 − OM1
- par une variation d'
abscisse :
ds = s2 - s1
et, pour un déplacement infiniment petit, un "vecteur variation d'
abscisse" :
→
→
→
→
→
d s = d OM = dx. i + dy. j + dz. k
Exercice résolu
Enoncé : Un mobile se déplace sur un cercle centré en O, de rayon R = 1m, dans le sens trigonométrique. Il occupe successivement les 4 points suivants :
•
A : intersection avec l’axe des x, côté positif (origine des abscisses curvilignes)
•
B : intersection avec l’axe des y, côté positif
•
C : intersection avec l’axe des x, côté négatif
•
D : intersection avec l’axe des y, côté négatif
Calculer le vecteur déplacement et la variation d’abscisse curviligne pour chaque changement de position.
Solution : les 4 points ont pour coordonnées :
•
A : R, 0
•
B : 0, R
•
C : -R, 0
•
D : 0, -R , avec R = 1m.
B
A
C
O
D
D’où les vecteurs déplacement :
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
B
AB = − i + j
BC = − i − j
A
C
CD = + i − j
DA = + i + j
qui ont tous pour longueur
O
D
2 m (1,414m), alors que chaque déplacement correspond
à un quart de tour sur le cercle, soit une variation d’abscisse curviligne de πm (3,14m).
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4 Vitesse
Vitesse moyenne
Dans le langage courant, c'
est une grandeur scalaire : le quotient de la distance M1M2 parcourue sur la
trajectoire1 par la durée (t2 – t1) du trajet (Fig. 3).
F igu re I-6 F igu re I-6
M2
M1
t
t2
1
F ig u re 3
M 1M 2
vmoy =
t2 – t1
Exercice résolu
Enoncé : une automobile parcourt 54km en 45 mn ; calculer sa vitesse moyenne.
Solution : la vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue sur la trajectoire par la
durée du trajet ; en exprimant la distance en km et la durée en h, on obtient :
v=
54
54.4
=
= 72 km/h.
3/ 4
3
En exprimant les distances en m et la durée en secondes :
v=
54.10 3 54.10 3
=
= 20 m.s-1.
2
45.60 27.10
Remarque : le fait que le parcours soit effectué ou non en ligne droite n’intervient pas dans ce
calcul.
1
A distinguer de la distance géométrique, qui est la longueur du segment de droite joignant M1 à M2.(cf.
exercice résolu page 11)
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Vecteur vitesse moyenne :
Soient M1, M , M2 les positions du mobile sur la trajectoire aux dates t1 , t , t2 telles que t = ( t1 - t2 )/2. On appelle
vecteur vitesse moyenne au point M (Fig. 4) :
2
1
2
moy
1
→
Figure 4
v moy
→
MM
= 1 2
t 2 − t1
En général, cette notion est insuffisante pour décrire le mouvement. Par exemple, le
vecteur vitesse moyenne d’un cheval de bois sur un manège, si on fait le calcul sur un
nombre entier de tours, est nul, et, sur un nombre non entier, donne une valeur en général
bien inférieure à la valeur réelle (cf. exercice suivant).
Exercice résolu
Enoncé : sur un manège, un cheval de bois décrit un cercle de rayon
y
B
R = 4m en 12 secondes. Déterminer son vecteur vitesse moyenne
pour :
C
un quart de tour
O
un demi-tour
un tour complet
A
x
D
Comparer les résultats obtenus avec la vitesse moyenne (scalaire)
Solution : il faut choisir un repère pour décrire le mouvement ; le plus simple est de prendre
deux axes perpendiculaires ayant pour origine le centre du cercle, et des vecteurs unitaires i et
j de longueur 1m. Il faut aussi choisir la position de départ sur le cercle. Par exemple, si le
départ est le point A de l’axe des x :
→
pour un quart de tour, v moy =
M.Domon
→
2
2
AB
4→ 4→ →
4 4
= − i + j ; v moy =   +   = 1,88m.s −1
3
3
3
3 3
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pour un demi-tour,
→
AC
8→
4→ →
4
= − i = − i ; v moy = = 1,33m.s −1
6
6
3
3
→
v moy =
→
→
pour un tour complet, v moy =
→
→
→
AA
= 0 i + 0 j ; v moy = 0m.s −1
12
alors que la vitesse moyenne est dans les 3 cas le rapport de la longueur d’un tour sur sa durée, soit : v moy =
2π.4 2π
= 2,09m.s −1
=
12
3
Vitesse instantanée :
M'
M
t
Par définition, au point M à l'
instant t, c'
est la
limite de la grandeur vectorielle :
t'
v
v=
Figure 5.
M M'
t'- t
lorsque t'tend vers t (Fig. 5).
Dans ce cas, M'se rapprochant de M, le support de MM'se confond avec la tangente à la trajectoire au point M.
→
→
→
En utilisant la relation : MM'= OM'
− OM , il est également possible d'
écrire :
→
→ d OM dx → dy → dz →
=
i+
j+
k.
v =
dt
dt
dt
dt
Le vecteur vitesse est alors calculé à partir des équations horaires.
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CONCLUSION : Caractéristiques du vecteur "Vitesse instantanée":
v=
lim ite
t' t
M M'
t'- t
Origine :
le point M à l'
instant t.
Direction :
tangente à la trajectoire au point M.
Sens :
celui du mouvement.
Valeur :
en mètres par seconde (m.s-1).
Remarque : pour un référentiel donné, le vecteur vitesse est indépendant de l’origine O
choisie pour le repère, bien que le vecteur position en dépende. Soit O’ la nouvelle origine.
Le vecteur position par rapport à cette origine est :
→
→
→
O'M = O'O+ OM
comme, par rapport à la nouvelle origine :
→
→ d O'M
v =
dt
→
on obtient, en remplaçant O'
M par son expression :
 → → 
→
→
→
d  O'O+ OM 
→
d O'O d OM d OM


v=
=
+
=
dt
dt
dt
dt
car O et O’ étant deux points fixes par rapport au référentiel, le vecteur joignant O à O’ est
constant et sa dérivée est donc nulle.
Une autre notation, dite "des mécaniciens", est aussi utilisée assez souvent :
° + z.k
°
v=°
x.i + y.j
;
ds
v = s° =
dt
dans cette notation, le cercle placé au-dessus d’une grandeur indique sa dérivée par rapport au temps.
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Remarque : dans la suite du cours, quand on parlera de « vecteur vitesse » sans autre
indication, il s’agira du« vecteur vitesse instantanée».
Exercice résolu n°1
Enoncé :
Déterminez la direction du vecteur vitesse instantanée au point C sur les graphes
ci-dessous, sachant que le mobile va de A vers B :
Mobile A
Mobile B
10
12
A
8
6
C
4
A
y
2
10
0
-2
0
5
10
15
C
-4
8
-6
B
-8
-10
y
x
Mobile C
6
→
O'M
6
4
4
C
B
B
2
y
0
-6
-4
-2
0
2
A
4
2
6
-2
0
-4
0
1
2
3
4
5
x
-6
x
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Solution : au point C, le vecteur vitesse instantanée est tangent à la courbe, et dirigé
dans le sens du mouvement
Mobile A
Mobile B
10
12
A
8
6
C
4
A
2
10
0
y
-2
0
5
10
15
C
-4
8
-6
B
-8
-10
y
x
Mobile C
→
O'M
6
4
B
y
-4
4
C
B
2
0
-6
6
-2
0
2
A
4
2
6
-2
0
-4
0
1
2
3
4
5
x
-6
x
Exercice résolu n°2
Enoncé : les équations horaires d’un mobile sont :
x = 2t + 5
y=0
z = -5t² +3t +12
Déterminez son vecteur vitesse instantanée.
Solution :
Le mouvement se déroule dans le plan Oxz (y = 0) ; le vecteur vitesse s’obtient par dérivation
des équations horaires :
→
→
→
→
dx → dz → dx
dz
v=
i+
k;
= 2;
= −10t + 3 ; v = 2 i + (− 10t + 3)k
dt
dt
dt
dt
la valeur et l’orientation de la vitesse varient toutes deux dans le temps.
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