mecanique : vitesse - Univ

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La vitesse caractérise la rapidité avec laquelle un mobile passe d’une position à une au-
tre : elle fait donc appel à la notion de position dans l’espace, et à la notion de temps.
1 : Notion de temps :
Date : pour situer un événement dans le temps, on le "date" par rapport à une ori-
gine.
Exemple : Arthur a eu quarante-cinq ans le 30 avril 2001 ; pour lui, l'origine des dates est
donc le 30 avril 1956.
Le choix de l'origine est arbitraire : les Romains comptaient les années avant ou
après la fondation de Rome, et le Nouvel An n’est pas fêté en même temps par tout le
monde ...
Durée : la durée est l'intervalle de temps qui sépare deux dates. Elle est indépen-
dante du choix de l'origine.
Exemple : la durée moyenne d'un téléfilm est de 90 minutes.
L'unité légale de temps est la seconde (s).
2. Equations(s) horaires(s) :
Décrire un mouvement, c'est pouvoir don-
ner la position du mobile à chaque instant.
Après avoir choisi un référentiel et un re-
père lié à ce référentiel, on peut, pour décrire un
mouvement :
- donner les trois coordonnées ( x, y, z )
du point M à chaque instant (Fig. 1) ;
les trois équations:
x = f(t) , y = g(t) , z = h(t) ,
sont appelées équations horaires du mouvement.
MECANIQUE : VITESSE
Figure 1

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- donner l'équation f(x, y) ou f(x, y, z) = 0 de la tra-
jectoire dans le repère, et choisir une origine O’ sur cette
trajectoire pour définir une abscisse curviligne s (Fig.
2) : l'équation horaire du mouvement est alors s = f(t), où
s représente la longueur de l’arc de courbe OM, avec le
signe + si le parcours se fait dans le sens positif choisi,
et le signe – dans l’autre cas.
3. Equations(s) horaires(s) et trajectoire :
Au lieu de tracer point par point les positions succesives du mobile en faisant varier
la date, il est possible de déterminer la trajectoire à partir des équations horaires. Le résul-
tat permet de situer le mobile dans l’espace, mais plus dans le temps. Pour cela, on ex-
prime la date en fonction de l’une des coordonnées, en choisissant l’équation la plus sim-
ple, et on reporte l’expression obtenue dans les autres équations horaires.
Exercice résolu
Enoncé : un mobile a pour équations horaires :
x = 4t + 20
z = -5t² + 3t + 30
quelle est l’équation de sa trajectoire ?
Solution : la plus simple des deux équations horaires est celle qui lie x à t :
x = 4t + 20 ⇔
⇔⇔
⇔ t = (x – 20 )/4 = x/5 – 4
en reportant cette expression dans z(t), on obtient :
z = -5(x/5 – 4)² + 3(x/5 – 4) + 30
qui, une fois développé, donne :
z = -5(x²/25 – 8x/5 + 16) + 3(x/5 – 4) + 30 = - x²/5 + 8x – 90 + 3x/5 – 12 + 30
= -x²/5 + 43x/5 – 48
qui est l’équation d’une parabole.
Figure 2
O’

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Un déplacement du mobile de la position M1 à la position M2 peut donc être repéré :
- par un vecteur déplacement :
M
M OM OM
1
2
2
1
 →  →  →
= −
- par une variation d'abscisse : ds = s2 - s1
et, pour un déplacement infiniment petit, un "vecteur variation d'abscisse" :
→→→→→ ++== k.dzj.dyi.dxOMdsd
Exercice résolu
Enoncé : Un mobile se déplace sur un cercle centré en O, de rayon R = 1m, dans le sens trigo-
nométrique. Il occupe successivement les 4 points suivants :
• A : intersection avec l’axe des x, côté positif (origine des abscisses curvilignes)
• B : intersection avec l’axe des y, côté positif
• C : intersection avec l’axe des x, côté négatif
• D : intersection avec l’axe des y, côté négatif
Calculer le vecteur déplacement et la variation d’abscisse curviligne pour chaque change-
ment de position.
Solution : les 4 points ont pour coordonnées :
• A : R, 0
• B : 0, R
• C : -R, 0
• D : 0, -R , avec R = 1m.
D’où les vecteurs déplacement :
→→→
→→→
→→→
→→→
++=
−+=
−−=
+−=
jiDA
jiCD
jiBC
jiAB
qui ont tous pour longueur 2m (1,414m), alors que chaque déplacement correspond
à un quart de tour sur le cercle, soit une variation d’abscisse curviligne de π
ππ
πm (3,14m).
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O

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4 Vitesse
Vitesse moyenne
Dans le langage courant, c'est une grandeur sca-
laire : le quotient de la distance M1M2 parcourue sur la
trajectoire1 par la durée (t2 – t1) du trajet (Fig. 3).
Exercice résolu
Enoncé : une automobile parcourt 54km en 45 mn ; calculer sa vitesse moyenne.
Solution : la vitesse moyenne est le quotient de la distance parcourue sur la trajectoire par la
durée du trajet ; en exprimant la distance en km et la durée en h, on obtient :
v = 72
3
454
4
3
54 == .
/km/h.
En exprimant les distances en m et la durée en secondes :
v = 20
10
27
1054
60
45
1054
2
33
==
.
.
.
.m.s-1.
Remarque : le fait que le parcours soit effectué ou non en ligne droite n’intervient pas dans ce
calcul.
1 A distinguer de la distance géométrique, qui est la longueur du segment de droite joignant M1 à M2.(cf.
exercice résolu page 11)
F igu re I
-6 F igu re I-6
M
t
1
2
M
t
1
2
Figure 3
vmoy =
M1M2
t2 – t1

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y
B
C A
O x
D
Vecteur vitesse moyenne :
Soient M1, M , M2 les positions du mobile sur la trajec-
toire aux dates t1 , t , t2 telles que t = ( t1 - t2 )/2. On appelle
vecteur vitesse moyenne au point M (Fig. 4) :
12
21
tt
MM
vmoy − =
→
→
En général, cette notion est insuffisante pour décrire le mouvement. Par exemple, le
vecteur vitesse moyenne d’un cheval de bois sur un manège, si on fait le calcul sur un
nombre entier de tours, est nul, et, sur un nombre non entier, donne une valeur en général
bien inférieure à la valeur réelle (cf. exercice suivant).
Exercice résolu
Enoncé : sur un manège, un cheval de bois décrit un cercle de rayon
R = 4m en 12 secondes. Déterminer son vecteur vitesse moyenne
pour :
un quart de tour
un demi-tour
un tour complet
Comparer les résultats obtenus avec la vitesse moyenne (scalaire)
Solution : il faut choisir un repère pour décrire le mouvement ; le plus simple est de prendre
deux axes perpendiculaires ayant pour origine le centre du cercle, et des vecteurs unitaires i et
j de longueur 1m. Il faut aussi choisir la position de départ sur le cercle. Par exemple, si le
départ est le point A de l’axe des x :
pour un quart de tour, 1
22
881
3
4
3
4
3
4
3
4
3
−
→→→
→
→=
+ =+−== s.m,v;ji
AB
vmoymoy
Figure 4
1
1 2
2
moy