Soient aet bdeux r´eels.
a<bssi a−best strictt n´egatif
a>bssi a−best strictt positif
D´efinition
ordre
Soient a,b,ctrois r´eels.
⊲si (a<bet b<c) alors a<c
⊲si a<b, alors a+c<b+c.
⊲si a<bet k>0 alors k×a<k×b.
⊲si a<bet k<0 alors k×a>k×b.
Propri´et´e
Une in´equation est une in´egalit´e o `u intervient x;
elle peut ˆetre vraie ou fausse selon la valeur de x.
D´efinition
Exemple : −3x−5≤7
Cette in´egalit´e est vraie si x=−1.
Cette in´egalit´e est fausse si x=−5.
R´esoudre une in´equation, c’est trouver toutes les
valeurs de xpour lesquelles l’in´egalit´e est vraie.
D´efinition
Dans l’exemple pr´ec´edent :
−3x−5≤7⇐⇒ x≥ −4
L’ensemble des solutions est donc :
S= [−4; +∞[
→fiche / 4 r´esolutions d’une in´equation
Soient aet bdeux r´eels avec b6=0.
a+−+−
b+−−+
a×b++− −
a/b++− −
signe du quotient =signe du produit
Propri´et´e
r`egle des signes
In´equations produits
Exemple :
(2x+1)(4−3x)>0
On ´etudie le signe de P= (2x+1)(4−3x):
x
2x+1
4−3x
P
−∞−1/2 4/3 +∞
−0+ +
+ + 0−
−0+0−
Le produit Pest strictt positif ssi x∈−1
2;4
3
In´equations quotients
Exemple :
−3x+7
1−x≤0
Il y a une valeur interdite : la valeur de xpour la-
quelle le d´enominateur est nul ; or :
1−x=0⇐⇒ x=1
On suppose donc x6=1 et on place dans le tableau
de signes suivant une double-barre.
On ´etudie le signe de Q=−3x+7
1−x:
x
−3x+7
1−x
P
−∞17/3 +∞
+ + 0−
+0− −
+−0+
Le quotient Qest n´egatif ou nul ssi x∈1; 7
3
Autres types d’in´equations
En seconde, on peut toujours se ramener aux
in´equations produits ou quotients.
Pour ceci, il faut essentiellement factoriser.
Voici quelques exemples (d´etaill´es en classe) :
(x−1)2−4>0⇐⇒ (x−3)(x+1)>0
4x2−9≤0⇐⇒ (2x+3)(2x−3)≤0
Pour se ramener aux ´equations quotients, il faut
d’abord faire apparaˆıtre z´ero dans le membre de
droite, et factoriser ensuite ; par exemple :
3−x
x+2>2⇐⇒ −3x−1
x+2>0