ℓ(x)

2nde - Bilan chapitre 5 :
FONCTIONS AFFINES
TABLEAUX DE SIGNES
INEQUATIONS
Soit aet bdeux r´eels fix´es.
On d´efinit une fonction affine fen posant :
f(x) = ax +b
Son domaine de d´efinition est R.
⊲le nombre aest le coefficient directeur.
⊲le nombre best l’ordonn´ee `a l’origine.
D´efinition
Cas particuliers
– Si a=0, alors fest constante (f(x) = b).
– Si b=0, alors fest lin´eaire (f(x) = ax ).
Repr´esentation graphique
Une fonction affine :
f(x) = −1
2x+3
Une fonction lin´eaire et une constante :
ℓ(x) = −1
2x+0c(x) = 0x+3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x
y
Dℓ
Dc
Df
1
1
0
Remarque : f(4) = 1 ; ceci signifie que :
⊲1 est l’image de 4 par f.
⊲4 est l’unique ant´ec´edent de 1 pour f.
Dans un rep`ere (O,I,J)fix´e, la repr´esentation
graphique d’une fonction affine est une droite D.
– fonction lin´eaire ssi O∈ D.
– fonction affine ssi D//(Ox).
Propri´et´e
Si f(x) = ax +b, alors quels que soient les r´eels
x1et x2distincts, on a :
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=a
Th´eor`eme
Exemple :
f(x) = −1
2x+3
Choisissons x1et x2:
x1=234 f(x1) = −114
x2=−48 f(x2) = 27
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=141
−282 =−1 2
Si f(x) = ax +bavec a6=0 :
– Si a>0 alors fest strictt croissante sur R.
– Si a<0 alors fest strictt d´ecroissante sur R.
Th´eor`eme
Pour la fonction f(x) = −1
2x+3,
on obtient le tableau de signes suivant :
x
−1
2x+3
−∞6+∞
+0−
De mˆeme,
pour la fonction f(x) = 1
3x−2,
on obtient le tableau de signes suivant :
x
1
3x−2
−∞6+∞
−0+
Cas g´en´eral :
ax +b≥0 ssi ax ≥ −b
Si a<0, x≤ − b
aSi a>0, x≥ − b a
Bilan
Si a<0 Si a>0
x
ax +b
−∞−b
a+∞
+0−
x
ax +b
−∞−b
a+∞
−0+

Soient aet bdeux r´eels.
a<bssi a−best strictt n´egatif
a>bssi a−best strictt positif
D´efinition 
ordre
Soient a,b,ctrois r´eels.
⊲si (a<bet b<c) alors a<c
⊲si a<b, alors a+c<b+c.
⊲si a<bet k>0 alors k×a<k×b.
⊲si a<bet k<0 alors k×a>k×b.
Propri´et´e
Une in´equation est une in´egalit´e o `u intervient x;
elle peut ˆetre vraie ou fausse selon la valeur de x.
D´efinition
Exemple : −3x−5≤7
Cette in´egalit´e est vraie si x=−1.
Cette in´egalit´e est fausse si x=−5.
R´esoudre une in´equation, c’est trouver toutes les
valeurs de xpour lesquelles l’in´egalit´e est vraie.
D´efinition
Dans l’exemple pr´ec´edent :
−3x−5≤7⇐⇒ x≥ −4
L’ensemble des solutions est donc :
S= [−4; +∞[
→fiche / 4 r´esolutions d’une in´equation
Soient aet bdeux r´eels avec b6=0.
a+−+−
b+−−+
a×b++− −
a/b++− −
signe du quotient =signe du produit
Propri´et´e 
r`egle des signes
In´equations produits
Exemple :
(2x+1)(4−3x)>0
On ´etudie le signe de P= (2x+1)(4−3x):
x
2x+1
4−3x
P
−∞−1/2 4/3 +∞
−0+ +
+ + 0−
−0+0−
Le produit Pest strictt positif ssi x∈−1
2;4 3
In´equations quotients
Exemple :
−3x+7
1−x≤0
Il y a une valeur interdite : la valeur de xpour la-
quelle le d´enominateur est nul ; or :
1−x=0⇐⇒ x=1
On suppose donc x6=1 et on place dans le tableau
de signes suivant une double-barre.
On ´etudie le signe de Q=−3x+7
1−x:
x
−3x+7
1−x
P
−∞17/3 +∞
+ + 0−
+0− −
+−0+
Le quotient Qest n´egatif ou nul ssi x∈1; 7
3
Autres types d’in´equations
En seconde, on peut toujours se ramener aux
in´equations produits ou quotients.
Pour ceci, il faut essentiellement factoriser.
Voici quelques exemples (d´etaill´es en classe) :
(x−1)2−4>0⇐⇒ (x−3)(x+1)>0
4x2−9≤0⇐⇒ (2x+3)(2x−3)≤0
Pour se ramener aux ´equations quotients, il faut
d’abord faire apparaˆıtre z´ero dans le membre de
droite, et factoriser ensuite ; par exemple :
3−x
x+2>2⇐⇒ −3x−1 x+2>0