2nde - Bilan chapitre 5 :
FONCTIONS AFFINES
TABLEAUX DE SIGNES
INEQUATIONS
Soit aet bdeux r´eels fix´es.
On d´efinit une fonction affine fen posant :
f(x) = ax +b
Son domaine de d´efinition est R.
le nombre aest le coefficient directeur.
le nombre best l’ordonn´ee `a l’origine.
D´efinition
Cas particuliers
Si a=0, alors fest constante (f(x) = b).
Si b=0, alors fest lin´eaire (f(x) = ax ).
Repr´esentation graphique
Une fonction affine :
f(x) = 1
2x+3
Une fonction lin´eaire et une constante :
(x) = 1
2x+0c(x) = 0x+3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
x
y
D
Dc
Df
1
1
0
Remarque : f(4) = 1 ; ceci signifie que :
1 est l’image de 4 par f.
4 est l’unique ant´ec´edent de 1 pour f.
Dans un rep`ere (O,I,J)fix´e, la repr´esentation
graphique d’une fonction affine est une droite D.
fonction lin´eaire ssi O∈ D.
fonction affine ssi D//(Ox).
Propri´et´e
Si f(x) = ax +b, alors quels que soient les r´eels
x1et x2distincts, on a :
f(x2)f(x1)
x2x1
=a
Th´eor`eme
Exemple :
f(x) = 1
2x+3
Choisissons x1et x2:
x1=234 f(x1) = 114
x2=48 f(x2) = 27
f(x2)f(x1)
x2x1
=141
282 =1
2
Si f(x) = ax +bavec a6=0 :
Si a>0 alors fest strictt croissante sur R.
Si a<0 alors fest strictt d´ecroissante sur R.
Th´eor`eme
Pour la fonction f(x) = 1
2x+3,
on obtient le tableau de signes suivant :
x
1
2x+3
6+
+0
De mˆeme,
pour la fonction f(x) = 1
3x2,
on obtient le tableau de signes suivant :
x
1
3x2
6+
0+
Cas g´en´eral :
ax +b0 ssi ax ≥ −b
Si a<0, x b
aSi a>0, x b
a
Bilan
Si a<0 Si a>0
x
ax +b
b
a+
+0
x
ax +b
b
a+
0+
Soient aet bdeux r´eels.
a<bssi abest strictt n´egatif
a>bssi abest strictt positif
D´efinition
ordre
Soient a,b,ctrois r´eels.
si (a<bet b<c) alors a<c
si a<b, alors a+c<b+c.
si a<bet k>0 alors k×a<k×b.
si a<bet k<0 alors k×a>k×b.
Propri´et´e
Une in´equation est une in´egalit´e o `u intervient x;
elle peut ˆetre vraie ou fausse selon la valeur de x.
D´efinition
Exemple : 3x57
Cette in´egalit´e est vraie si x=1.
Cette in´egalit´e est fausse si x=5.
R´esoudre une in´equation, c’est trouver toutes les
valeurs de xpour lesquelles l’in´egalit´e est vraie.
D´efinition
Dans l’exemple pr´ec´edent :
3x57x≥ −4
L’ensemble des solutions est donc :
S= [4; +[
fiche / 4 r´esolutions d’une in´equation
Soient aet bdeux r´eels avec b6=0.
a++
b+−−+
a×b++− −
a/b++− −
signe du quotient =signe du produit
Propri´et´e
r`egle des signes
In´equations produits
Exemple :
(2x+1)(43x)>0
On ´etudie le signe de P= (2x+1)(43x):
x
2x+1
43x
P
1/2 4/3 +
0+ +
+ + 0
0+0
Le produit Pest strictt positif ssi x1
2;4
3
In´equations quotients
Exemple :
3x+7
1x0
Il y a une valeur interdite : la valeur de xpour la-
quelle le d´enominateur est nul ; or :
1x=0x=1
On suppose donc x6=1 et on place dans le tableau
de signes suivant une double-barre.
On ´etudie le signe de Q=3x+7
1x:
x
3x+7
1x
P
17/3 +
+ + 0
+0− −
+0+
Le quotient Qest n´egatif ou nul ssi x1; 7
3
Autres types d’in´equations
En seconde, on peut toujours se ramener aux
in´equations produits ou quotients.
Pour ceci, il faut essentiellement factoriser.
Voici quelques exemples (d´etaill´es en classe) :
(x1)24>0(x3)(x+1)>0
4x290(2x+3)(2x3)0
Pour se ramener aux ´equations quotients, il faut
d’abord faire apparaˆıtre z´ero dans le membre de
droite, et factoriser ensuite ; par exemple :
3x
x+2>23x1
x+2>0
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