Calcul littéral 1 Nombres, rappels

Seconde Calcul Litt´eral Chapitre 1
Calcul litt´eral
1 Nombres, rappels
1.1 Ensembles de nombres
D´efinition : L’ensemble des nombres entiers positifs {0; 1; 2; 3; ...; 10; 11; ...}est not´e N. On l’appelle
ensemble des nombres entiers naturels.
Exemple : 37 ∈N, ou 5634 ∈N.
Remarque : on note N∗={1; 2; 3; 4; ...}=N{0}.
D´efinition : Z={...;−12; −11; −10; ...;−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; ...; 11; 12; ...}est l’ensemble des nombres
entiers relatifs (Zcomme initiale de l’allemand Zahlen, nombre). Dans Zon retrouve les entiers
naturels. On dit que Nest une partie de Z, ou bien que Nest inclus dans Z, ce qui se note N⊂Z.
D´efinition : Un nombre d´ecimal est un nombre pouvant s’´ecrire sous la forme p
10n, avec pentier
relatif et nentier naturel. L’ensemble des nombres d´ecimaux est not´e D.
Remarque : Un nombre d´ecimal peut s’´ecrire sous la forme d´ecimale comprenant une partie enti`ere,
une virgule, et apr`es la virgule, une partie d´ecimale finie.
Exemples : −527
1000 ∈Dcar 1000 = 103; ou 3,68 ∈Dcar 3,68 = 368 102.
D´efinition : Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’´ecrire sous la forme p
qavec pentier
relatifs et qentier naturel non nul. L’ensemble des nombres rationnels est not´e Q.
Exemple : 437
35 ;−1250 422 ;−25 et 34,57 appartiennent `a Q. (L’apparition des fractions est li´ee aux
probl`emes de partage).
Propri´et´e : Soient p1,q1,p2,q2et ades entiers relatifs, avec q1,q2et anon nuls.
– pour additionner deux rationnels, on doit les mettre au mˆeme d´enominateur : p1
q1
+p2
q2
=p1q2+p2q1
q1q2
– on peut multiplier deux rationnels : p1
q1×p2 q2
=p1p2
q1q2
– on peut simplifier un nombre rationnel s’il poss`ede un facteur commun au num´erateur et d´enominateur :
p1×a
q1×a=p1 q1
Remarque : si le d´enominateur d’une fraction simplifi´ee ne peut pas s’´ecrire comme un produit de
cinq et de deux, alors cette fraction est un rationnel, mais pas un d´ecimal.
Exercice : Donner la nature des nombres suivants :
a=22
15 b=36 25 c=426 150 d=−91 7e=−51 125
Solution : a∈Q;b=36
5×5∈D;c=142 ×3 50 ×3=142 2×5×5∈D;d=−13 ∈Zet e=−51 5×5×5∈Q.
Propri´et´e : Diviser, c’est multiplier par l’inverse. Pour cela, il faut donc que le diviseur soit non nul.
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p1
q1
p2
q2
=p1
q1×q2p2=p1q2 q1p2
, avec p26= 0.
D´efinition : L’ensemble des nombres r´eels,R, est constitu´e de tous les nombres qui peuvent mesurer
une longueur, ainsi que leurs oppos´es. C’est l’ensemble des abscisses des points d’une droite gradu´ee
munie d’un rep`ere (O, I). Un nombre r´eel qui n’est pas un rationnel est un irrationnel.
Exemples : √2 ; π; cos(23) sont des irrationnels. Ils n’appartiennent qu’`a R.
Remarques :
– On a les inclusions suivantes : N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
– Toutes les r´egles de calcul fractionnaire vues dans Qrestent vraies dans R.
1.2 Rappels
D´efinition : Soit aun r´eel positif. Alors on note √ale nombre positif dont le carr´e est ´egal `a a.
Propri´et´es : Soient aet bdeux r´eels positifs (a∈R+et b∈R+). On a : (√a)2=√a2=aet
√a×√b=√ab.
Exemples : ´ Ecrire sous la forme a+b√c, avec cle plus petit possible. A=√75 B=√84 ×√175
C=√252 −6√448 et D=1
√2
Exemples : Calculer A=3
π+1 2et B=−2
√3+1
2 + √3.
Solution : A=6 + π
2πet B=−4−√3
√3(2 + √3)
Propri´et´e : Soient aet bdes r´eels non nuls ; met ndes entiers relatifs.
am=a×a×... ×a,mfois a2=a×a a1=a a0= 1 a−1=1
aa−n=1 a×... ×a,nfois.
am×an=am+nan×bn= (ab)n(am)n=amn
2 Calcul litt´eral
ABCD est un carr´e de 6 cm de cˆot´e. Ele milieu de
[BC] et Fun point quelconque de [AB]. Comment
faut-il placer Fpour que le cercle C1de centre E
passant par Bet le cercle C2de centre Fet passant par
Asoient tangents ?
1. On nomme xla longueur AF .Combien vaut F B
en fonction de x?
2. En utilisant le th´eor`eme de Pythagore, calculer
F E2.
3. Quelle doit ˆetre la mesure de F E pour que C1et
C2soient tangents ?
4. Montrer que C1et C2sont tangents ssi on a :
(x+ 3)2= (6 −x)2+ 32.
ABC1
C2
C
D
E
F
2

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2.1 Somme, produit, quotient
D´efinitions :
– Dans une somme, l’expression comporte des additions et des soustractions `a l’ext´erieur des pa-
renth`eses. Une somme est compos´ee de termes : A+B−Cest la somme alg´ebrique de trois termes
A,Bet C.
– Dans un produit, l’expression ne comporte pas d’addition ni de soustraction `a l’ext´erieur des pa-
renth`eses. Un produit est constitu´e de facteurs : A×Best le produits des facteurs Aet B.
– Dans un quotient, l’expression est form´ee d’un num´erateur et d’un d´enominateur : Q=N
D.
Exemples : Voir Fiche 2, ex 1.
2.2 D´evelopper, factoriser
Rappels :
– D´evelopper une expression, c’est l’´ecrire sous la forme d’une somme.
– Factoriser une expression, c’est l’´ecrire sous la forme d’un quotient.
– Pour factoriser, on peut utiliser un facteur commun ou une identit´e remarquable.
Exemples :
– D´evelopper A= (x−4)(3x+ 7) et B= (x−4)(3x+ 7) −(4x−5)(6 −9x).
– Factoriser C= 6x3−5x,D= (x−4)(5x−7)(x+ 3)(x−4) et E= (x−2)(3x+ 7) −(x−2).
2.3 Identit´es remarquables
Propri´et´es : (a+b)2=a2+ 2ab +b2; (a−b)2=a2−2ab +b2et (a+b)(a−b) = a2−b2.
Exemples :
– D´evelopper A= (x+ 3)2;B= (6 −x)2+ 32et C= (3x−8)(3x+ 8).
– Factoriser S,Tet Ude la fiche 2.
2.4 Factorisations astucieuses
Remarque : Parfois il faut faire apparaˆıtre le facteur commun avant de pouvoir factoriser totalement
l’expression.
– On peut ˆetre amen´e `a factoriser d’abord un «morceau »de l’expression.
D= (5x−2)(3x−4) + 6x−8, et E=x2−6x+ 9 −(4x+ 7)2
– Parfois, il faut modifier un terme en le multipliant deux fois par −1 pour faire apparaˆıtre de nou-
veaux signes.
F= (3x−5)(6x+ 1) + (−3x+ 5), et G= (4x+ 7)(6x−3) −(3 −6x)(x+ 10)
3´ Equations
D´efinition : Une ´equation est une ´egalit´e dans lauqelle une ou plusieurs valeurs sont inconnues. Le
plus souvent, l’inconnue est not´ee x.
Exemples : Dans l’exemple de la boˆıte de vitesse, xrepr´esente la longueur AF .
Propri´et´e : R´esoudre une ´equation c’est trouver toutes les valeurs pour lesquelles l’´egalit´e est vraie.
Pour cela, on ajoute les mˆemes quantit´es au deux membres de l’´egalit´e, ou on multiplie les 2 membres
par le mˆeme nombre non nul.
Exemples :
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1. Montrer que dans l’exemple de la boˆıte de vitesse, la solution est 2.
2. R´esoudre 6x+ 6 = 8x−7
3. R´esoudre −7
6x+4 21 =−4 3x+3 14
Propri´et´e : Un produit est nul ssi un des facteurs au moins est ´egal `a 0. Ou, pour raccourcir,
«ab = 0 ssi a = 0 ou b = 0 ». Les ´equations dans lesquelles on utilise cette r`egle sont appel´ees
´equations produit.
Exemple : (4x−5)(−7x+ 2) = 0.
Remarque : Si une ´equation comporte des x2qui ne se simplifient pas, il faut d’abord factoriser,
avant de pouvoir utiliser une ´equation produit.
Exemples :
1. x2−36 = 0
2. (4x−3)(6x+ 1) −(4x−3)(5 −9x) = 0
3. 4x2= 100
Remarque :
– On sait que dans une fraction, le d´enominateur ne peut jamais ˆetre ´egal `a z´ero. Une fraction avec
des xau d´enominateur peut donc avoir une ou plusieurs valeurs interdites (ou aucune).
– Pour mettre des fractions au mˆeme d´enominateur, on est parfois amen´e `a utiliser des calculs de
d´eveloppement.
Exemples :
1. Trouver la ou les valeur(s) interdite(s) de :
A(x) = 4x−5
8x+ 3 B(x) = 3x2+ 5 (4x+ 3)(x−6) C(x) = 3x−7 x2+ 1
2. ´ Ecrire sous la forme d’une seule fraction :
D(x) = 2x−1
x+ 1 +5 x−1E(x) = −1 x+5 x+ 3
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