Calcul littéral 1 Nombres, rappels

Seconde
Calcul Littéral
Chapitre 1
Calcul littéral
1
1.1
Nombres, rappels
Ensembles de nombres
Définition : L’ensemble des nombres entiers positifs {0; 1; 2; 3; ...; 10; 11; ...} est noté N. On l’appelle
ensemble des nombres entiers naturels.
Exemple : 37 ∈ N, ou 5634 ∈ N.
Remarque : on note N∗ = {1; 2; 3; 4; ...} = N {0}.
Définition : Z = {...; −12; −11; −10; ...; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; ...; 11; 12; ...} est l’ensemble des nombres
entiers relatifs (Z comme initiale de l’allemand Zahlen, nombre). Dans Z on retrouve les entiers
naturels. On dit que N est une partie de Z, ou bien que N est inclus dans Z, ce qui se note N ⊂ Z.
p
Définition : Un nombre décimal est un nombre pouvant s’écrire sous la forme n , avec p entier
10
relatif et n entier naturel. L’ensemble des nombres décimaux est noté D.
Remarque : Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme décimale comprenant une partie entière,
une virgule, et après la virgule, une partie décimale finie.
Exemples :
368
− 527
∈ D car 1000 = 103 ; ou 3, 68 ∈ D car 3, 68 = 2 .
1000
10
Définition : Un nombre rationnel est un nombre pouvant s’écrire sous la forme
p
avec p entier
q
relatifs et q entier naturel non nul. L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.
437 − 1250
;
; −25 et 34,57 appartiennent à Q. (L’apparition des fractions est liée aux
35
422
problèmes de partage).
Exemple :
Propriété : Soient p1 , q1 , p2 , q2 et a des entiers relatifs, avec q1 , q2 et a non nuls.
p1 p2 p1 q2 + p2 q 1
– pour additionner deux rationnels, on doit les mettre au même dénominateur : + =
q1 q2
q1 q2
p1 p2 p1 p2
– on peut multiplier deux rationnels :
×
=
q1 q2
q1 q2
– on peut simplifier un nombre rationnel s’il possède un facteur commun au numérateur et dénominateur :
p1 × a p1
=
q1 × a q1
Remarque : si le dénominateur d’une fraction simplifiée ne peut pas s’écrire comme un produit de
cinq et de deux, alors cette fraction est un rationnel, mais pas un décimal.
Exercice : Donner la nature des nombres suivants :
22
36
426
− 91
− 51
a=
b=
c=
d=
e=
15
25
150
7
125
Solution : a ∈ Q ; b =
142 × 3
142
− 51
36
∈ D; c =
=
∈ D ; d = −13 ∈ Z et e =
∈ Q.
5×5
50 × 3
2×5×5
5×5×5
Propriété : Diviser, c’est multiplier par l’inverse. Pour cela, il faut donc que le diviseur soit non nul.
1
Seconde
Calcul Littéral
Chapitre 1
p1
p1
p1 q 2
q1
=
× q2 p2 =
, avec p2 6= 0.
q1
q1 p2
p2
q2
Définition : L’ensemble des nombres réels, R, est constitué de tous les nombres qui peuvent mesurer
une longueur, ainsi que leurs opposés. C’est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée
munie d’un repère (O, I). Un nombre réel qui n’est pas un rationnel est un irrationnel.
Exemples :
√
2 ; π ; cos(23) sont des irrationnels. Ils n’appartiennent qu’à R.
Remarques :
– On a les inclusions suivantes : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
– Toutes les régles de calcul fractionnaire vues dans Q restent vraies dans R.
1.2
Rappels
Définition : Soit a un réel positif. Alors on note
√
a le nombre positif dont le carré est égal à a.
√
+ et b ∈ R+ ). On a : (√a)2 =
Propriétés
:
Soient
a
et
b
deux
réels
positifs
(a
∈
R
a2 = a et
√
√
√
a × b = ab.
√
√
Exemples : Écrire sous la forme a + b c, avec c le plus petit possible. A = 75
√
√
1
C = 252 − 6 448 et D = √
2
1
3 1
−2
√ .
Exemples : Calculer A = + et B = √ +
π 2
3
2+ 3
√
6+π
−4− 3
√
Solution : A =
et B = √
2π
3(2 + 3)
Propriété : Soient a et b des réels non nuls ; m et n des entiers relatifs.
1
am = a × a × ... × a, m fois a2 = a × a a1 = a
a0 = 1 a−1 =
a
am × an = am+n
an × bn = (ab)n
(am )n = amn
2
a−n =
B=
√
√
84 × 175
1
, n fois.
a × ... × a
Calcul littéral
ABCD est un carré de 6 cm de côté. E le milieu de
[BC] et F un point quelconque de [AB]. Comment
faut-il placer F pour que le cercle C1 de centre E
passant par B et le cercle C2 de centre F et passant par
A soient tangents ?
C2
A
b
1. On nomme x la longueur AF .Combien vaut F B
en fonction de x ?
F
b
B
b
E
b
2. En utilisant le théorème de Pythagore, calculer
F E2.
3. Quelle doit être la mesure de F E pour que C1 et
C2 soient tangents ?
4. Montrer que C1 et C2 sont tangents ssi on a :
(x + 3)2 = (6 − x)2 + 32 .
2
Db
b
C
C1
Seconde
2.1
Calcul Littéral
Chapitre 1
Somme, produit, quotient
Définitions :
– Dans une somme, l’expression comporte des additions et des soustractions à l’extérieur des parenthèses. Une somme est composée de termes : A + B − C est la somme algébrique de trois termes
A, B et C.
– Dans un produit, l’expression ne comporte pas d’addition ni de soustraction à l’extérieur des parenthèses. Un produit est constitué de facteurs : A × B est le produits des facteurs A et B.
N
– Dans un quotient, l’expression est formée d’un numérateur et d’un dénominateur : Q = .
D
Exemples : Voir Fiche 2, ex 1.
2.2
Développer, factoriser
Rappels :
– Développer une expression, c’est l’écrire sous la forme d’une somme.
– Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un quotient.
– Pour factoriser, on peut utiliser un facteur commun ou une identité remarquable.
Exemples :
– Développer A = (x − 4)(3x + 7) et B = (x − 4)(3x + 7) − (4x − 5)(6 − 9x).
– Factoriser C = 6x3 − 5x, D = (x − 4)(5x − 7)(x + 3)(x − 4) et E = (x − 2)(3x + 7) − (x − 2).
2.3
Identités remarquables
Propriétés : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 et (a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Exemples :
– Développer A = (x + 3)2 ; B = (6 − x)2 + 32 et C = (3x − 8)(3x + 8).
– Factoriser S, T et U de la fiche 2.
2.4
Factorisations astucieuses
Remarque : Parfois il faut faire apparaı̂tre le facteur commun avant de pouvoir factoriser totalement
l’expression.
– On peut être amené à factoriser d’abord un « morceau » de l’expression.
D = (5x − 2)(3x − 4) + 6x − 8, et E = x2 − 6x + 9 − (4x + 7)2
– Parfois, il faut modifier un terme en le multipliant deux fois par −1 pour faire apparaı̂tre de nouveaux signes.
F = (3x − 5)(6x + 1) + (−3x + 5), et G = (4x + 7)(6x − 3) − (3 − 6x)(x + 10)
3
Équations
Définition : Une équation est une égalité dans lauqelle une ou plusieurs valeurs sont inconnues. Le
plus souvent, l’inconnue est notée x.
Exemples : Dans l’exemple de la boı̂te de vitesse, x représente la longueur AF .
Propriété : Résoudre une équation c’est trouver toutes les valeurs pour lesquelles l’égalité est vraie.
Pour cela, on ajoute les mêmes quantités au deux membres de l’égalité, ou on multiplie les 2 membres
par le même nombre non nul.
Exemples :
3
Seconde
Calcul Littéral
Chapitre 1
1. Montrer que dans l’exemple de la boı̂te de vitesse, la solution est 2.
2. Résoudre 6x + 6 = 8x − 7
−7
4
−4
3
3. Résoudre
x+
=
x+
6
21
3
14
Propriété : Un produit est nul ssi un des facteurs au moins est égal à 0. Ou, pour raccourcir,
« ab = 0 ssi a = 0 ou b = 0 ». Les équations dans lesquelles on utilise cette règle sont appelées
équations produit.
Exemple : (4x − 5)(−7x + 2) = 0.
Remarque : Si une équation comporte des x2 qui ne se simplifient pas, il faut d’abord factoriser,
avant de pouvoir utiliser une équation produit.
Exemples :
1. x2 − 36 = 0
2. (4x − 3)(6x + 1) − (4x − 3)(5 − 9x) = 0
3. 4x2 = 100
Remarque :
– On sait que dans une fraction, le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro. Une fraction avec
des x au dénominateur peut donc avoir une ou plusieurs valeurs interdites (ou aucune).
– Pour mettre des fractions au même dénominateur, on est parfois amené à utiliser des calculs de
développement.
Exemples :
1. Trouver la ou les valeur(s) interdite(s) de :
4x − 5
3x2 + 5
A(x) =
B(x) =
8x + 3
(4x + 3)(x − 6)
2. Écrire sous la forme d’une seule fraction :
5
−1
5
2x − 1
+
E(x) =
+
D(x) =
x+1
x−1
x
x+3
4
C(x) =
3x − 7
x2 + 1