L`Arganier des mathématiques Devoir surveillé III MP1

L’Arganier des mathématiques
Devoir surveillé III
MP1
Ahmed HFA
Agrégé de mathématique
30 octobre 2016
1
1

Premier Problème
.Dans ce problème la lettre Kdésigne un sous corps de Cet Eun Kespace vectoriel non nul de dimension
finie , de dimension notée n
.Soit kun entier naturel supérieur ou égale à 2 .On dit que les endomorphismes u1,...,ukde Econstituent
une partition de l’identité si u1+u2+...+uk=idE
IIPremière partie :Étude de deux exemples
.Un premier exemple.
Dans cette partie n= 3 , E=R3et uun endomorphisme de Edont la matrice dans la base canonique est
A=
0 1 0
0 0 0
0 0 −1
1 Déterminer les valeurs propres de u
2uest -il diagonalisable ?(à justifier)
3 Déterminer le polynôme minimal de u
4 Déterminer deux polynômes Q1et Q2de R[X] pour lesquels les endomorphismes Q1(u) et Q2(u) sont
des projecteurs et constituent une partition de l’identité de R3
.Deuxième exemple.
Dans cette partie on considère un endomorphisme ude Ediagonalisable et possédant kvaleurs propres
distinctes λ1,...,λk
5 Déterminer le polynôme minimal de u
6 En déduire que E=
k
M
i=1
Eλi(u) (∗) (Citer le théorème utilisé).On considère dans la suite la famille
(pi)1≤i≤kdes projecteurs associés à la décomposition (∗).
7 Montrer que les projecteurs p1,...,pkconstituent une partition de l’identité
8 Montrer que u=
k
X
i=1
λipi
9 Montrer que ∀P∈K[X], P (u) =
k
X
i=1
P(λi)pi
10 En déduire ∀i∈[[1,k]] ,∃Li∈K[X], pi=Li(u)
IIII Deuxième partie : Cas général
Soit kendomorphismes u1,...,ukde Equi constituent une partition de l’identité de E.Pour i∈[[1,k]] , on note
rile rang de l’endomorphisme ui
1 Montrer que E=
k
X
i=1
Im(ui) et n≤
k
X
i=1
ri
2 Montrer que les sous espaces vectoriels Im(u1),Im(u2)..., Im(uk) sont en somme directe si, et seule-
ment si n=
k
X
i=1
ri
2
2

3 Montrer l’équivalence des propositions suivantes :
.1).
k
X
i=1
ri=n
.2). Les endomorphismes u1,...,uksont des projecteurs de E
.3). Pour tout (i,j)∈[[1, k]]2, i ,j⇒uiouj= 0L(E)
IIIIII Troisième partie
Dans cette partie uest un endomorphisme de Etel qu’il existe un entier non nul m, des scalaires λ1,...,λm
deux à deux distincts et des endomorphismes non nuls p1,...,pmde Etels que ∀k∈[[0,m]] , uk=
m
X
i=1
λk
ipi
1 Vérifier que les endomorphismes p1, ... , pmconstituent une partition de l’identité
2 En déduire que E=
m
X
i=1
Im(pi)
3 Montrer que ∀P∈Km[X], P (u) =
m
X
i=1
P(λi)pi
4 En déduire que les endomorphismes p1, .. ., pmsont des polynômes en u
5 Montrer que ∀i∈[[1,m]] ,Im(pi)⊂ker(u−λi.idE)
6 Montrer que uest diagonalisable et que les valeurs propres de usont les scalaires λ1,...,λmet que pour
tout i∈[[1,m]] ,Im(pi) = Eλi(u)
7 Montrer que ∀(i, j)∈[[1, m]]2, piopj=δi,j .pi
8 Etablir que : ∀i∈[[1,m]] , piou =λipi
9 Montrer que ∀k∈N, uk=
m
X
i=1
λk
ipi
10 En déduire que ∀P∈K[X], P (u) =
m
X
i=1
P(λi)pi
Deuxième Problème
Dans ce problème nest un entier naturel non nul
Trois questions préliminaires
1 Montrer que si Qest un polynôme scindé à racines simples dans Kalors Q∧Q0= 1
2 Montrer que si le polynôme minimale d’une matrice carrée est scindé à racines simples sur K, alors elle
est diagonalisable
3 Soit Aune matrice carrée d’ordre n.On suppose que Aadmet une valeur propre λd’ordre n.Donner une
condition nécéssaire et suffisante pour que Asoit diagonalisable
Première partie :
L’objectif de cette partie est de montrer la proposition suivante : Si la matrice M= A A
0A!avec A∈ Mn(K)
, est diagonalisable, alors A= 0n. On suppose alors que Mest diagonalisable et notons λ1,...,λrses valeurs
propres distinctes deux à deux
3
3

1 Montrer que : ∀k∈N∗, Mk= AkkAk
0Ak!
2 En déduire que ∀P∈K[X], P (M) = P(A)AP 0(A)
0P(A)!
3 Montrer que πAdivise πMet divise aussi Xπ0
M
4 Montrer qu’il existe des matrices M1,...,Mrtelles que ∀i∈[[1,r]] , M2
i=Miet M =
r
X
k=1
λk.Mk
5 Montrer que le polynôme minimal de Mest scindé à racine simples dans K
6 En déduire que Aest diagonalisable
7 Montrer que si Aest inversible alors πAdivise π0
M
8 En déduire une contradiction puis conclure
9 Soit λ∈Kune valeur propre de A.
a. Montrer que λest une racine commune de πMet Xπ0
M
b. En déduire que λ= 0
c. Conclure
Deuxième partie :
Soit Aet Bdeux matrice carrées d’ordre net Mla matrice triangulaire par blocs définie par M= A B
0A!
1 Montrer que ∀k∈N∗, Mk= AkkAk−1B
0Ak!
2 Calculer P(M) , pour P∈K[X]
3 Montrer que la matrice Met Aont même valeurs propres et que ∀λ∈ Sp(A), mλ(M)=2mλ(A)
On suppose dans la suite que Mest diagonalisable
4 Montrer que Aest diagonalisable
5 En déduire que ∀λ∈ Sp(A),dim(Eλ(M))= 2dim (Eλ(A))
6 Montrer que π0
M(A) est inversible
7 En déduire que B= 0n
4
4