3 Montrer l’équivalence des propositions suivantes :
.1).
k
X
i=1
ri=n
.2). Les endomorphismes u1,...,uksont des projecteurs de E
.3). Pour tout (i,j)∈[[1, k]]2, i ,j⇒uiouj= 0L(E)
IIIIII Troisième partie
Dans cette partie uest un endomorphisme de Etel qu’il existe un entier non nul m, des scalaires λ1,...,λm
deux à deux distincts et des endomorphismes non nuls p1,...,pmde Etels que ∀k∈[[0,m]] , uk=
m
X
i=1
λk
ipi
1 Vérifier que les endomorphismes p1, ... , pmconstituent une partition de l’identité
2 En déduire que E=
m
X
i=1
Im(pi)
3 Montrer que ∀P∈Km[X], P (u) =
m
X
i=1
P(λi)pi
4 En déduire que les endomorphismes p1, .. ., pmsont des polynômes en u
5 Montrer que ∀i∈[[1,m]] ,Im(pi)⊂ker(u−λi.idE)
6 Montrer que uest diagonalisable et que les valeurs propres de usont les scalaires λ1,...,λmet que pour
tout i∈[[1,m]] ,Im(pi) = Eλi(u)
7 Montrer que ∀(i, j)∈[[1, m]]2, piopj=δi,j .pi
8 Etablir que : ∀i∈[[1,m]] , piou =λipi
9 Montrer que ∀k∈N, uk=
m
X
i=1
λk
ipi
10 En déduire que ∀P∈K[X], P (u) =
m
X
i=1
P(λi)pi
Deuxième Problème
Dans ce problème nest un entier naturel non nul
Trois questions préliminaires
1 Montrer que si Qest un polynôme scindé à racines simples dans Kalors Q∧Q0= 1
2 Montrer que si le polynôme minimale d’une matrice carrée est scindé à racines simples sur K, alors elle
est diagonalisable
3 Soit Aune matrice carrée d’ordre n.On suppose que Aadmet une valeur propre λd’ordre n.Donner une
condition nécéssaire et suffisante pour que Asoit diagonalisable
Première partie :
L’objectif de cette partie est de montrer la proposition suivante : Si la matrice M= A A
0A!avec A∈ Mn(K)
, est diagonalisable, alors A= 0n. On suppose alors que Mest diagonalisable et notons λ1,...,λrses valeurs
propres distinctes deux à deux
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