ECOLE SUPERIEURE DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE DE HAMMAM SOUSSE
Section : MP2
AU
:2020-2021
Série d'algèbre 2
Exercice 1 :
Soient u, v deux endomorphismes d'un espace vectoriel.
1. Si λ 6= 0 est valeur propre de u ◦ v , montrer qu'il l'est aussi de v ◦ u.
2. On pose u et v deux endomorphisme de R[X] dénis par :
u(P ) = P et v(P ) =
0
Z
X
P (t) dt
0
Déterminer ker(u ◦ v) et ker(v ◦ u). Conclure.
3. Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ = 0 si l'espace E est de
dimension nie.
Exercice 2 :
Pour A = (aij ) ∈ Mn (R), on pose kAk = sup
n
P
|ai,j |.
1≤i≤n j=1
Montrer que Sp(A) ⊂ [−kAk, kAk]
Exercice 3 :
1.
Pour M ∈ Mn (C), montrer qu'il existe une suite (Mp )p ⊂ GLn (R) telle que lim Mp = M
2.
Soient A, B ∈ Mn (C). Montrer que
χAB = χBA
p→+∞
(Ind : On pourra commencer par le cas où A ∈ GLn (C))
Exercice 4 :
Soient a, b ∈ R et M la matrice d'ordre n dénie par :
a
b
M = ...
b
b
b ···
a ···
b
b
..
.
..
.
..
.
b
b
···
···
a
b
b
b
..
∈ Mn (R), avec b 6= 0
.
b
a
1.
Montrer que la matrice M − (a − b)In est de rang 1.
2.
Déduire une valeur propre de M , préciser son ordre de multiplicité.
3.
Donner le polynôme caractéristique de M .
1
Exercice 5 :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, u une forme linéaire non nulle de E et H = ker(u).
1.
Soit f ∈ L(E) Montrer que
H est stable par f si, et seulement si, u ◦ f est colinéaire à u
2.
On note A = MB (f ) et L = MB,BK (u). Montrer que
H est stable par f si, et seulement si, t L est un vecteur propre de t A
3.
Déterminer les plans stables par l'endomorphisme de R3 déni par
f : (x, y, z) 7−→ (2x + y + z, x + 2y + z, x + y + 2z)
Exercice 6 :
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et f, g ∈ L(E) tels que f ◦ g = g ◦ f .
On suppose que f admet n valeur propres distinctes deux à deux.
1.
Soit λ ∈ Sp(f ). Justier que dimEλ (f ) = 1 .
En déduire que tout vecteur propre de f est aussi un vecteur propre de g .
2.
Montrer qu'il existe une base de E dans la quelle les matrices de f et g sont diagonales.
Exercice 7 :
1.
Soit D =diag(α, ..., αn ) ∈ Mn (K) avec λi 6= λj , ∀i 6= j .
Montrer que : Si DM = M D alors M est une matrice diagonale.
2.
Soit
3
A = 3
1
0
1
0
a.
Diagonaliser la matrice A.
b.
Résoudre dans M3 (K), l'équation X 2 = A.
1
−2
3
Exercice 8 :
Soient n ≥ 3 et
0
1
A=
.
..
1
..
(0)
.
..
.
(0)
1
..
.
∈ Mn (R)
1
0
1.
Calculer les rangs de A et A2 .
2.
Soit f l'endomorphisme de Rn canoniquement associé à la matrice A.
a.
Montrer que ker f ⊕ Imf = Rn
b.
En déduire que la matrice A est semblable à une matrice de la forme
2
0
..
(0)
.
avec B ∈ GLn (R)
0
(0)
B
c.
Calculer tr B et tr B .
d.
En déduire les valeurs propres de B puis celles de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?
2
Exercice 9 : (réduction simultanée)
Soit f et g deux endomorphismes diagonalisables tels que f ◦ g = g ◦ f .
1.
Montrer que f et g se diagonalise dans une même base.
2.
Soient A , B ∈ Mn (K) diagonalisables telles que AB = BA.
Montrer qu' il existe P ∈ GLn (K) telle que les matrices P −1 AP et P −1 BP soient diagonales.
Justier alors que les matrices A + B et AB sont diagonalisables.
Exercice 10 :
Soit f un endomorphismes d'un K-espace vectoriel E de dimension nie.
On pose Γf = {g ∈ L(E); f ◦ g = g ◦ f }.
1.
On suppose que f est diagonalisable et on note sp(f ) = {λ1 , ..., λr } et Ei = Eλi (f ).
a.
Montrer que :
g ∈ Γf ⇔ ∀1 ≤ i ≤ r, Ei est stable parg
b.
Montrer que l'application :
ϕ:
Γf
g
−→ L(Eλ1 (f )) × ... × L(Eλr (f ))
7−→
(g|E1 , ... , g|Er )
est un isomorphisme. En déduire la dimension de Γf .
Exercice 11 :
Soit f un endomorphismes d'un K-espace vectoriel E de dimension n vériant :
Il existe x0 ∈ E tel que, {x0 , f (x0 ), ..., f n−1 (x0 )} est une base de E .
Soit g ∈ L(E) tel que f ◦ g = g ◦ f
1.
Montrer qu'il existe P ∈ Kn−1 [X] tel que g(x0 ) = P (f )(x0 ).
2.En
déduire que f ◦ g = g ◦ f si, et seulement si, g ∈ Kn−1 [f ].
Exercice 12 :
A ∈ Mn (R) et B =
0 In
A 0
.
1.
Donner les valeurs de B en fonction de celles de A.
2.
Si A est diagonalisable, B est elle diagonalisable ?
3
Exercice 13 :
Soit A ∈ Mn (C) telle que rgA = 1.
Établir
A diagonalisable si, et seulement si, tr A 6= 0
Exercice 14 :
Pour tout polynôme X n + an X n−1 + ... + a1 X + a0 ∈ Cn [X], on lui associe sa matrice compagnon :
0
1
..
CP =
.
.
..
0
0
0
···
···
.
0
···
1
0
..
−a0
−a1
..
..
.
.
0 −an−2
1 −an−1
0
0
1.
Montrer que χCP = P .
2.
Soit λ ∈ Sp(Cp ), Justier que Eλ est une droite vectorielle. Montrer que :
CP est diagonalisable si et seulement si P est scindé à racines simples.
0
0
..
3. Soit J =
.
.
..
1
1
0
···
···
.
0
···
0
0
..
0
0
.. ..
. .
0 1
0 0
0
0
Donner χJ et déduire Sp(J). Calculer le déterminant da la matrice M =
n−1
P
ai J i
i=0
Exercice 15 :
Soit u un endomorphismes de E et Du l'endomorphisme de L(E) déni par :
pour tout f ∈ L(E); Du (f ) = u ◦ f
1.
Montrer que, pour tout P ∈ C[X], on a P (Du ) = DP (u) .
2.
En déduire que P (u) = 0 si et seulement si P (Du ) = 0.
3.
Montrer que u est diagonalisable si et seulement si Du est diagonalisable.
Exercice 16 :
Soit a ∈ E et f ∈ L(E). On note Ia = {P ∈ K[X], P (f )(a) = 0}
1.
Montrer que Ia est un idéal de K[X] et en déduire
qu'il existe un unique polynôme unitaire Πa tel que Ia = Πa K[X]
2.
On note d = deg(Πa ). Montrer que :
La famille {a, f (a), ..., f d−1 (a)} forme une base de {P (f )(a), P ∈ K[X]}.
4
Exercice 17 :
Soit A, B ∈ Mn (C) telles que χA (B) = 0
Montrer que A et B ont une valeur propre en commun.
Exercice 18 :
1.
Soit M =
A
0
0
B
avec A, B ∈ Mn (C)
P (A)
0
a. Montrer que, ∀P ∈ K[X], P (M ) =
.
0
P (B)
a.
Montrer que
M est diagonalisable si, et seulement si A et B sont diagonalisables.
2.
Soit M =
a.
A
0
B
A
avec A, B ∈ Mn (C) vériant AB = BA
Calculer, pour tout k ∈ N, M k et en déduire que
∀P ∈ R[X], P (M ) =
b.
P (A) P 0 (A)B
0
P (A)
Montrer que M est diagonalisable si, et seulement si, A est diagonalisable et B = 0.
Exercice 19 :
Soit A ∈ Mn (K) et P ∈ K[X].
Montrer que P (A) est inversible si et seulement si P ∧
Q
A
=1
Exercice 20 :
Soit A ∈ Mn (C).On suppose que A est semblable à 2A.
1.
Montrer que si λ ∈ sp(A) alors ∀k ∈ N , 2λk ∈ sp(A).
2.
Déduire que A est nilpotente.
Exercice 21 :
Soit P ∈ K[X] tel que P (0) = 0 et A ∈ Mn (K).
Montrer que si A est une matrice nilpotente alors P (A) est aussi nilpotente.
Exercice 22 :
Soit E un K-e.v de dimension n ∈ N∗ et f ∈ L(E) tel que χf =
p
Q
(X − λi )mi .
i=1
Pour tout i ∈ {1, ..., p}, on note Fi = ker(f − λi IdE )mi et Ni = f − λi IdE
1.
Montrer que E = ⊕pi=1 Fi .
2.
Justier que Fi est stable par Ni et que N i|Fi est nilpotent.
3.
Montrer que, ∀i ∈ {1, ..., p}, dim Fi = mi .
5
