Fiche 1 : Algèbre - PCSI

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Fiche 1 : Algèbre
PSI
2012 - 2013
Exercice 1 :


 (m − 1)x + y + z = 0
x + (m − 1)y + z = 0
1) Discuter en fonction des valeurs de m et résoudre le système


x + y + (m − 1)z = 0
2) Soit
f : R3
→ R3
.
(x, y, z) 7→ (x − y − z, −x + y − z, −x − y + z)
a) Montrer que f est un automorphisme de R3 .
b) Ecrire la matrice A canoniquement associée à f .
3) a) Montrer qu'il existe un réel m1 tel que ∆ = Ker(f − m1 Id) soit une droite, et un réel m2 tel
que P = Ker(f − m2 Id) soit un plan.
b) Montrer que ∆ et P sont supplémentaires dans R3 .
c) Soient 1 un vecteur non nul de ∆, soient 2 et 3 deux vecteurs de P non colinéaires. Quelle
est la matrice D de l'endomorphisme f relativement à la base B = (1 , 2 , 3 ) de R3 ?
4) Soit n un entier naturel. Ecrire la matrice Dn . En déduire la matrice An .
Exercice 2 : On note E le R-espace vectoriel Rn [X], avec n ∈ N, n ≥ 2. On considère la famille
(P0 , P1 , · · · , Pn ) d'éléments de E dénie par
P0 = 1
;
P1 = X
;
Pk =
1
X(X − k)k−1
k!
(2 ≤ k ≤ n).
On note enn f l'application de E dans E dénie par :
∀P ∈ E
f (P ) = Q
avec
Q(X) = P (X) − P 0 (X + 1) .
1) Montrer que (P0 , P1 , · · · , Pn ) est une base de E .
2) Vérier que ∀k ∈ {1, ..., n} Pk 0 (X + 1) = Pk−1 (X).
3) Pour k ∈ {0, ..., n}, on note Qk = f (Pk ).
a) Exprimer chaque Qk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Pj (0 ≤ j ≤ n).
b) En déduire que f est un automorphisme de E
f ∈ GL(E) .
c) Exprimer inversement les Pk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Qj .
4) On suppose dans cette question que n = 3.
a) Donner les coordonnées du polynôme X 3 dans la base B = (P0 , P1 , P2 , P3 ).
b) En déduire les coordonnées dans cette même base de l'unique polynôme P de R3 [X] tel que
P (X) − P 0 (X + 1) = X 3 .
Donner la forme développée de ce polynôme P .
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