Fiche 1 : Algèbre PSI 2012 - 2013 Exercice 1 : (m − 1)x + y + z = 0 x + (m − 1)y + z = 0 1) Discuter en fonction des valeurs de m et résoudre le système x + y + (m − 1)z = 0 2) Soit f : R3 → R3 . (x, y, z) 7→ (x − y − z, −x + y − z, −x − y + z) a) Montrer que f est un automorphisme de R3 . b) Ecrire la matrice A canoniquement associée à f . 3) a) Montrer qu'il existe un réel m1 tel que ∆ = Ker(f − m1 Id) soit une droite, et un réel m2 tel que P = Ker(f − m2 Id) soit un plan. b) Montrer que ∆ et P sont supplémentaires dans R3 . c) Soient 1 un vecteur non nul de ∆, soient 2 et 3 deux vecteurs de P non colinéaires. Quelle est la matrice D de l'endomorphisme f relativement à la base B = (1 , 2 , 3 ) de R3 ? 4) Soit n un entier naturel. Ecrire la matrice Dn . En déduire la matrice An . Exercice 2 : On note E le R-espace vectoriel Rn [X], avec n ∈ N, n ≥ 2. On considère la famille (P0 , P1 , · · · , Pn ) d'éléments de E dénie par P0 = 1 ; P1 = X ; Pk = 1 X(X − k)k−1 k! (2 ≤ k ≤ n). On note enn f l'application de E dans E dénie par : ∀P ∈ E f (P ) = Q avec Q(X) = P (X) − P 0 (X + 1) . 1) Montrer que (P0 , P1 , · · · , Pn ) est une base de E . 2) Vérier que ∀k ∈ {1, ..., n} Pk 0 (X + 1) = Pk−1 (X). 3) Pour k ∈ {0, ..., n}, on note Qk = f (Pk ). a) Exprimer chaque Qk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Pj (0 ≤ j ≤ n). b) En déduire que f est un automorphisme de E f ∈ GL(E) . c) Exprimer inversement les Pk (0 ≤ k ≤ n) en fonction des Qj . 4) On suppose dans cette question que n = 3. a) Donner les coordonnées du polynôme X 3 dans la base B = (P0 , P1 , P2 , P3 ). b) En déduire les coordonnées dans cette même base de l'unique polynôme P de R3 [X] tel que P (X) − P 0 (X + 1) = X 3 . Donner la forme développée de ce polynôme P . Lycée de l'Essouriau - Les Ulis