Feuille d`exercices 3

Université Bordeaux 1 Algèbre L2/ 2013
Feuille d’exercices 3
Valeurs propres - Diagonalisation - Polynôme caractéristique
Exercice 1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice
A=
564
−3−4−4
245
.
Déterminer une matrice Ptelle que A0=P−1AP soit diagonale. En déduire Anpour n∈N.
Exercice 2. Soit fl’endomorphisme de R3de matrice dans la base canonique
A=
4 2 −4
−6−4 6
−1−1 1
.
Diagonaliser fpuis pour n≥1, déterminer la matrice de fndans la base canonique.
Exercice 3. Soit Ala matrice définie par
A=
2 1 −2
1 0 0
0 1 0
.
a. Déterminer une matrice Ptelle que A0=P−1AP soit diagonale. Calculer P−1.
b. Soit (un)n≥1une suite réelle définie par (u0, u1, u2)et par la relation de récurrence :
∀n≥0, un+3 = 2un+2 +un+1 −2un.
Montrer que Un+1 =AUnavec Un=
un+2
un+1
un
. En déduire que Un=AnU0.
c. En utilisant a) donner l’expression de unpour n≥3en fonction de u0, u1et u2.
Exercice 4. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres, puis, lorsque c’est possible diagonaliser
les matrices suivantes.
A=
−1−1 2
2 2 −2
−2−1 3
B=
146
−3−7−7
487
Déterminer une matrice Ptelle que A0=P−1AP soit diagonale. En déduire Anpour n∈N.
Exercice 5. Soient les matrices de M3(R)suivantes.
M1=
123
023
003
M2=
111
011
001
.
Dire si ces matrices sont diagonalisables. Calculer leur puissance n−ième pour n≥1.
Exercice 6. Soit Mla matrice suivante.
M=
3 1 1 1
−1 1 0 −1
−1−1 0 0
−2−1−1 0
.
Calculer le polynôme caractéristique de M.

Exercice 7. On considère la matrice
A=
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
........
.
.
0 0 0 1
a0a1. . . an−2an−1
.
Soit χAle polynôme caractéristique de A. Montrer que χA(X) = Xn−an−1Xn−1− · · · − a1X−a0.
Exercice 8. Soit ϕune involution (i.e. ϕ◦ϕ= IdE) d’un espace vectoriel Ede dimension n, différente
de IdEet de −IdE.
a. Soit x∈Enon nul. En considérant x+ϕ(x)et x−ϕ(x)montrer que 1 et −1sont des valeurs propres
de ϕ. Existe-t-il d’autres valeurs propres ?
b. Montrer que tout élément de xse décompose comme la somme d’un élément de E1et E−1.
c. En déduire que ϕest diagonalisable.
Exercice 9. Soit pun projecteur (i.e. p◦p=p) d’un espace vectoriel Ede dimension n, différent de IdE
et de 0.
a. Montrer que IdE−pest un projecteur de E.
b. Montrer que Ker(IdE−p) = Im(p).
c. En déduire que Ker(p)et Im(p)sont supplémentaires.
d. Que peut-on conclure ?
Exercice 10. Montrer que les polynômes caractéristiques de deux matrices semblables sont égaux.
Exercice 11.
a. Soient (a, b, c)∈C3et Ala matrice définie par
A=
1a1
0 1 b
0 0 c
.
Pour quelles valeurs de (a, b, c)Aest-elle diagonalisable ?
b. Soit m∈Cet soit Amla matrice
m+ 1 3 + m2m0
0 2(m+ 1) m−1m+ 1
0 0 4m+ 4 2 −m
0 0 0 −m−1
.
Montrer, avec le minimum de calcul que Amest diagonalisable si et seulement si m6=−1.
Exercice 12. Montrer que si fest un endomorphisme diagonalisable qui n’a qu’une seule valeur propre
alors fest une homothétie.
Exercice 13. Soit Eun espace vectoriel de dimension finie.
a. Montrer que 0 est valeur propre d’un endomorphisme fde Esi et seulement si fn’est pas injective.
b. Soit fest un endomorphisme de Ebijectif. Montrer que toute valeur propre de fest non nulle et que
λest une valeur propre de fsi et seulement λ−1est une valeur propre de f−1.
c. Soient fet gdeux endomorphismes de E. Montrer que f◦get g◦font les mêmes valeurs propres.
Exercice 14. Soit Eun espace vectoriel de dimension n.
a. Soit f∈ L(E)diagonalisable. Montrer que si Fest un sous-espace vectoriel de Estable par falors la
restriction de fàF,f|F, est diagonalisable.
b. Soient fet gdeux endomorphismes de Ediagonalisables, qui commutent c’est-à-dire tels que
f◦g=g◦f. Déduire de la question précédente que fet gsont simultanément diagonalisables, i.e.
il existe une base Bde Edans laquelle les matrices de fet gsont diagonales .