Feuille d`exercices 3

Université Bordeaux 1
Algèbre L2/ 2013
Feuille d’exercices 3
Valeurs propres - Diagonalisation - Polynôme caractéristique
Exercice 1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice


5
6
4
A =  −3 −4 −4  .
2
4
5
Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. En déduire An pour n ∈ N.
Exercice 2. Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice dans la base canonique


4
2 −4
A =  −6 −4 6  .
−1 −1 1
Diagonaliser f puis pour n ≥ 1, déterminer la matrice de f n dans la base canonique.
Exercice 3. Soit A la matrice définie par

2 1
A= 1 0
0 1

−2
0 .
0
a. Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. Calculer P −1 .
b. Soit (un )n≥1 une suite réelle définie par (u0 , u1 , u2 ) et par la relation de récurrence :
∀n ≥ 0,

un+3 = 2un+2 + un+1 − 2un .

un+2
Montrer que Un+1 = AUn avec Un =  un+1 . En déduire que Un = An U0 .
un
c. En utilisant a) donner l’expression de un pour n ≥ 3 en fonction de u0 , u1 et u2 .
Exercice 4. Déterminer les valeurs propres et les espaces propres, puis, lorsque c’est possible diagonaliser
les matrices suivantes.

−1
A= 2
−2

2
−2 
3
−1
2
−1

1
B =  −3
4
4
−7
8

6
−7 
7
Déterminer une matrice P telle que A0 = P −1 AP soit diagonale. En déduire An pour n ∈ N.
Exercice 5. Soient les matrices de M3 (R) suivantes.



1 2 3
1
M1 = 0 2 3 M2 = 0
0 0 3
0
1
1
0

1
1 .
1
Dire si ces matrices sont diagonalisables. Calculer leur puissance n−ième pour n ≥ 1.
Exercice 6. Soit M la matrice suivante.

3
−1
M =
−1
−2
Calculer le polynôme caractéristique de M .
1
1
−1
−1
1
0
0
−1

1
−1
.
0
0
Exercice 7. On considère la matrice

0
0


A =  ...

0
a0
1
0
0
a1
0
1
..
.
...
...
..
.
0
0
..
.
...
0
an−2
an−1




.

1 
Soit χA le polynôme caractéristique de A. Montrer que χA (X) = X n − an−1 X n−1 − · · · − a1 X − a0 .
Exercice 8. Soit ϕ une involution (i.e. ϕ ◦ ϕ = IdE ) d’un espace vectoriel E de dimension n, différente
de IdE et de −IdE .
a. Soit x ∈ E non nul. En considérant x + ϕ(x) et x − ϕ(x) montrer que 1 et −1 sont des valeurs propres
de ϕ. Existe-t-il d’autres valeurs propres ?
b. Montrer que tout élément de x se décompose comme la somme d’un élément de E1 et E−1 .
c. En déduire que ϕ est diagonalisable.
Exercice 9. Soit p un projecteur (i.e. p ◦ p = p) d’un espace vectoriel E de dimension n, différent de IdE
et de 0.
a. Montrer que IdE − p est un projecteur de E.
b. Montrer que Ker(IdE − p) = Im(p).
c. En déduire que Ker(p) et Im(p) sont supplémentaires.
d. Que peut-on conclure ?
Exercice 10. Montrer que les polynômes caractéristiques de deux matrices semblables sont égaux.
Exercice 11.
a. Soient (a, b, c) ∈ C3 et A la matrice définie par

1
A= 0
0
a
1
0

1
b .
c
Pour quelles valeurs de (a, b, c) A est-elle diagonalisable ?
b. Soit m ∈ C et soit Am la matrice

m+1
3+m
2m

0
2(m
+
1)
m
−1


0
0
4m + 4
0
0
0

0
m+1 
.
2−m 
−m − 1
Montrer, avec le minimum de calcul que Am est diagonalisable si et seulement si m 6= −1.
Exercice 12. Montrer que si f est un endomorphisme diagonalisable qui n’a qu’une seule valeur propre
alors f est une homothétie.
Exercice 13. Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
a. Montrer que 0 est valeur propre d’un endomorphisme f de E si et seulement si f n’est pas injective.
b. Soit f est un endomorphisme de E bijectif. Montrer que toute valeur propre de f est non nulle et que
λ est une valeur propre de f si et seulement λ−1 est une valeur propre de f −1 .
c. Soient f et g deux endomorphismes de E. Montrer que f ◦ g et g ◦ f ont les mêmes valeurs propres.
Exercice 14. Soit E un espace vectoriel de dimension n.
a. Soit f ∈ L(E) diagonalisable. Montrer que si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f alors la
restriction de f à F , f|F , est diagonalisable.
b. Soient f et g deux endomorphismes de E diagonalisables, qui commutent c’est-à-dire tels que
f ◦ g = g ◦ f . Déduire de la question précédente que f et g sont simultanément diagonalisables, i.e.
il existe une base B de E dans laquelle les matrices de f et g sont diagonales .