Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES DIAGONALISATION DE MATRICES Exercice 98. () Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants. 1. E KrX s et ψ P LpE q définie par ψ pP q XP . 2. E C 8 pR, Cq et D : f ÞÑ f 1 . 3. E RN et T : pun qnPN ÞÑ pun 1 qnPN . Exercice 99. () " Déterminer les éléments propres de f : Exercice 100. () Soient E CN et f : E en v pvn q définie par : Rr X s Ñ Rr X s P ÞÑ pX 2 1qP 1 p2X Exercice 105. () 1 La matrice A 1 3. En déduire tous les s.e.v. de R3 stables par l’endomorphisme u canoniquement associé à A. 1 qP Exercice 106. () Donner tous les s.e.v. de R3 stables f dont la matrice par l’endomorphisme 2 3 1 dans la base canonique est B 1 2 1. 1 3 2 Ñ E l’application qui transforme une suite u punq un1 . 2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f . v0 1 1 1 1 est-elle diagonalisable ? 1. 1 1 1 2. Préciser ses valeurs propres et vecteurs propres. u0 et @n P N, vn un Exercice 107. Exercice 101. () 2 () Soit M 2 21 1 2a 1 2 a 2 1 0 0 1. Discuter suivant la valeur de a la diagonalisabilité de M . Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n. On suppose que 0 P Sp(f n ). Montrer que 0 P Sp(f ). 2. Pour a 1, Exercice 102. () (a) calculer le polynôme minimal. (l’unicité a été montrée dans le Chap. 1) (polynôme annulateur de M , unitaire et de degré minimal ), Soit f P LpE q où E est un K-e.v. de dimension n. Montrer que 0 R Sp(f ) ô f surjectif. (b) calculer M n Établir Sp(u1 ) = tλ1 , λ P Sppuqu. (c) déterminer une base dans laquelle M Exercice 103. () Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. a0 Lycée de l’Essouriau - Les Ulis .. . ... 0 1 a1 . . . an1 1 0 est semblable à 0 1. 1 ... ... ... 1 . 0 . . . 0 .. .. .. .. . . . . .. . 0 . . . 0 . .. . Diagonaliser A ... .. Calculer le polynôme caractéristique de la matrice compagnon : p0q I3qn habilement, Exercice 108 (Mines-Ponts). () Exercice 104. () Soient pa0 , a1 , ..., an1 q P Cn fixés. 1 .. . M 0 0 POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE 0 .. C. 0 pI3 . 1 ... ... ... 1 1 PSI - 2016-2017 Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES Exercice 109 (Mines-Ponts). () 1 1 Valeurs propres de B . .. 1 Exercice 110. () 1 1 p0q ... .. Exercice 117. () Soit A P Mn pKq une matrice de rang 1. 1. Montrer qu’il existe un réel λ tel que A2 λA. 2. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si tr A 0. 1 p0q . . PUISSANCES DE MATRICES 1 0 .. Éléments propres et diagonaliser si possible C . 0 Exercice 111. () . Exercice 118. ... 0 1 .. .. . . . . . . 0 1 1 ... 1 1 0 Éléments propres et diagonaliser si possible D p1 q .. p1 q . 4 1 2 1 () Calculer lim An avec A 2 1 2. nÑ 8 3 1 Exercice 119. 2 () Calculer An puis eA pour A 1 eA est, lorsqu’elle existe, la matrice définie par eA 1 1 1 1. 1 2 1 1 2 nÑlim8 ° k!1 Ak . n k 0 DIAGONALISATION D’ENDOMORPHISMES Exercice 120. () 0 Soit u défini sur Rn rX s par u : P ÞÑ pX 2 1qP 1 nXP . 1. Vérifier que u est un endomorphisme de Rn rX s. Soient A et B deux matrices de Mn pRq semblables dans C. 2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de u. 1. En séparant la relation liant A et B suivant les parties réelle et imaginaire, 3. u est-elle diagonalisable ? Préciser χu et det u. construire une matrice Q inversible réelle telle que QA BQ. Exercice 121. () 2. En déduire que A et B sont semblables dans R. " Mn p R q Ñ Mn p R q φ: Exercice ( ) M ÞÑ M trpM q.In est-il diagonalisable ? 113 (Mines-ponts). 1 2 3 1 3 2 Exercice 122. A 3 1 2 et B 2 1 3 sont-elles semblables dans C ? dans R ? ( ) 1 0 a b 2 3 1 3 2 1 Soient A et M deux matrices réelles. 0 2 c d Exercice 114. () 1. Calculer AM M A. Montrer que si A est diagonalisable alors t A l’est aussi. 2. Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme f : M 3. f est-il diagonalisable ? Exercice 115. () Soient A P GLn pKq et B P Mn pKq. Exercice 123. () On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable. 1 n Soit u : Rn rX s Ñ Rn rX s défini par : upP q X P . X Exercice 116. () u est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres. Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables sur K ? Exercice 112. ( ) Lycée de l’Essouriau - Les Ulis 2 Ñ AM M A. PSI - 2016-2017 Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES Exercice 131 (Mines 2010). () Soit la matrice M P Mn pCq définie par : @i P t1, ..., nu, mi,i a et t1, ..., nu2 avec i j, mi,j b où pa, bq sont deux complexes donnés. POLYNÔMES ANNULATEURS Exercice 124. ( ) Soit A P Mn pRq telle que A3 Exercice 125. () Soit A P Mn pRq telle que A3 A In . Montrer que detpAq ¡ 0. 1. Trouver deux complexes α et β tels que M 2 Soit n P N , A P Mn pRq telle que A4 7A3 12A2 . Montrer que trpAq P N et trpAq ¤ 4n. Exercice 128. () Déterminer toutes les matrices A A3 5A2 6A 0. P A2 Trouver les matrices X P M2pRq telles que Exercice 130. () 1. Soit A P Mn pRq telle que A2 MATRICES DÉFINIES PAR BLOC X In 0. 0 1 1 0 A2 In A A 0 A où A P Mn pRq. 1 TRIGONALISATION . 0 1 0 Si n 3, montrer que A 0 ou A est semblable à A1 1 0 0. 0 0 P pAq AP 1 pAq . 0 P pAq 3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable. 0 P RrX s, P pB q 2. Montrer que si B est diagonalisable, A l’est aussi et A 0. 0. 1 0 (a) n 2, montrer que A 0 ou A est semblable à A1 Lycée de l’Essouriau - Les Ulis 1. Montrer que @P . (c) n est maintenant quelconque. Calculer detpAq et trpAq. A 0. 0A Exercice134. ( ) 1 1 . 1 1 (b) Si n 3, montrer qu’il n’existe pas de solutions à (b) 2A où A P Mn pCq. 3A Est-il vrai que A est diagonalisable si et seulement si B l’est ? Soit B Soit B (a) Si n 2, montrer que A est semblable à A1 2. Soit A P Mn pRq telle que A2 Exercice133. ( ) GL3 pRq, de trace égale à 7 et vérifiant X2 1 1 Exercice 132. () Soit A . 0 1 Déterminer le polynôme minimal de A et calculer An pour n P N. A 0. Exercice 129. ( ) 0. 3. M est-elle inversible ? Si oui, donner son inverse. Exercice 126. () Soit n P N , A P Mn pRq telle que A3 Montrer que rgpAq est pair. βIn 2. M est-elle diagonalisable ? Si oui, donner ses éléments propres. A2 et trpAq n. Montrer que A In. Exercice 127. () αM @pi, j q P Exercice 135. () Soit u P LpRn q tel que u2 k 2 IdRn avec k P R. Montrer que u n’est pas trigonalisable sur R. Qu’en est-il sur C ? 0 3 PSI - 2016-2017 Feuille d’exercices n 3 - RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES Exercice 136. 2 1 1 () Soit A 2 1 2. 3 1 2 Calculer le polynôme caractéristique de A et trigonaliser la matrice A. 0 0 (déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.) 0 0 0 () Soit B 1 1 1 1 2. Exercice 137. 3 1 2 Calculer le polynôme caractéristique de B et trigonaliser la matrice B. 0 0 (déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.) 0 0 Exercice 138. 1 1 1 4 2 . () Soit C 2 1 1 1 Calculer le polynôme caractéristique de C et trigonaliser la matrice C. 1 0 (déterminer une base dans laquelle la matrice est semblable à 0 1.) 0 0 DIVERS Exercice 139. () Soit E Rn et f P LpE q. On suppose que f est diagonalisable. Montrer que Ker f = Ker f 2 et Im f = Im f 2 . Lycée de l’Essouriau - Les Ulis 4 PSI - 2016-2017