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Feuille d’exercices n 3 - R´ EDUCTION D’ENDOMORPHISMES
VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
Exercice 98. ( )
D´eterminer les ´el´ements propres des endomorphismes suivants.
1. EKXet ψLEd´efinie par ψ P XP .
2. ECR,Cet D:f f .
3. ERNet T:unnNun1nN.
Exercice 99. ( )
D´eterminer les ´el´ements propres de f:RXRX
P X21P2X1P
Exercice 100. ( )
Soient ECNet f:E E l’application qui transforme une suite u un
en v vnd´efinie par :
v0u0et nN, vn
unun1
2.
D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 101. ( )
Soit fLEo`u Eest un K-e.v. de dimension n.
On suppose que 0 Sp(fn). Montrer que 0 Sp(f).
Exercice 102. ( )
Soit fLEo`u Eest un K-e.v. de dimension n.
Montrer que 0 Sp(f)fsurjectif.
Exercice 103. ( ) Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel E.
´
Etablir Sp(u1) = λ1, λ Sp u.
POLYN ˆ OME CARACT´ ERISTIQUE
Exercice 104. ( ) Soient a0, a1, ..., an1Cnfix´es.
Calculer le polynˆome caract´eristique de la matrice compagnon :
C
0 1 0
.
.
.......
0. . . 0 1
a0a1. . . an1
.
DIAGONALISATION DE MATRICES
Exercice 105. ( )
1. La matrice A
1 1 1
1 1 1
1 1 1
est-elle diagonalisable ?
2. Pr´eciser ses valeurs propres et vecteurs propres.
3. En d´eduire tous les s.e.v. de R3stables par l’endomorphisme ucanonique-
ment associ´e `a A.
Exercice 106. ( )
Donner tous les s.e.v. de R3stables par l’endomorphisme fdont la matrice
dans la base canonique est B
231
121
132
.
Exercice 107. ( ) Soit M
2a
2
1
21
2 2a1 2
1 0 0
1. Discuter suivant la valeur de ala diagonalisabilit´e de M.
2. Pour a1,
(a) calculer le polynˆome minimal. (l’unicit´e a ´et´e montr´ee dans le Chap. 1)
(polynˆome annulateur de M, unitaire et de degr´e minimal),
(b) calculer MnI3M I3nhabilement,
(c) d´eterminer une base dans laquelle Mest semblable `a
1 0
0 1
0 0
.
Exercice 108 (Mines-Ponts).( )
Diagonaliser A
1. . . . . . . . . 1
.
.
. 0 . . . 0.
.
.
.
.
..
.
..
.
..
.
.
.
.
. 0 . . . 0.
.
.
1. . . . . . . . . 1
.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PSI - 2016-2017

Feuille d’exercices n 3 - R´ EDUCTION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 109 (Mines-Ponts).( )
Valeurs propres de B
1 1 . . . 1
1 1 0
.
.
....
1 0 1
.
Exercice 110. ( )
´
El´ements propres et diagonaliser si possible C
0. . . 0 1
.
.
..
.
..
.
.
0. . . 0 1
1. . . 1 1
.
Exercice 111. ( )
´
El´ements propres et diagonaliser si possible D
0 1
...
1 0
.
Exercice 112. ( )
Soient Aet Bdeux matrices de MnRsemblables dans C.
1. En s´eparant la relation liant Aet Bsuivant les parties r´eelle et imaginaire,
construire une matrice Qinversible r´eelle telle que QA BQ.
2. En d´eduire que Aet Bsont semblables dans R.
Exercice 113 (Mines-ponts).( )
A
123
312
231
et B
132
213
321
sont-elles semblables dans C? dans R?
Exercice 114. ( )
Montrer que si Aest diagonalisable alors tAl’est aussi.
Exercice 115. ( )
Soient AGLnKet BMnK.
On suppose la matrice AB diagonalisable. Montrer que BA est diagonalisable.
Exercice 116. ( )
Quelles sont les matrices nilpotentes diagonalisables sur K?
Exercice 117. ( ) Soit AMnKune matrice de rang 1.
1. Montrer qu’il existe un r´eel λtel que A2λA.
2. Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si tr A0.
PUISSANCES DE MATRICES
Exercice 118. ( ) Calculer lim
nAnavec A1
3
412
2 1 2
1 1 1
.
Exercice 119. ( ) Calculer Anpuis eApour A
2 1 1
1 2 1
1 1 2
.
eAest, lorsqu’elle existe, la matrice d´efinie par eAlim
n
n
k0
1
k!Ak.
DIAGONALISATION D’ENDOMORPHISMES
Exercice 120. ( )
Soit ud´efini sur RnXpar u:P X21P nXP .
1. V´erifier que uest un endomorphisme de RnX.
2. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de u.
3. uest-elle diagonalisable ? Pr´eciser χuet det u.
Exercice 121. ( )
φ:MnRMnR
M M tr M .Inest-il diagonalisable ?
Exercice 122. ( )
Soient A1 0
0 2 et Ma b c d deux matrices r´eelles.
1. Calculer AM MA.
2. D´eterminer les ´el´ements propres de l’endomorphisme f:M AM M A.
3. fest-il diagonalisable ?
Exercice 123. ( )
Soit u:RnXRnXd´efini par : u P XnP1
X.
uest-elle diagonalisable ? D´eterminer ses ´el´ements propres.
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Feuille d’exercices n 3 - R´ EDUCTION D’ENDOMORPHISMES
POLYN ˆ OMES ANNULATEURS
Exercice 124. ( )
Soit AMnRtelle que A3A In. Montrer que det A0.
Exercice 125. ( )
Soit AMnRtelle que A3A2et tr A n. Montrer que A In.
Exercice 126. ( )
Soit nN,AMnRtelle que A47A312A2.
Montrer que tr ANet tr A4n.
Exercice 127. ( )
Soit nN,AMnRtelle que A3A2A0.
Montrer que rg Aest pair.
Exercice 128. ( )
D´eterminer toutes les matrices AGL3R, de trace ´egale `a 7 et v´erifiant
A35A26A0.
Exercice 129. ( )
Trouver les matrices XM2Rtelles que X2X1 1
1 1 .
Exercice 130. ( )
1. Soit AMnRtelle que A2In0.
(a) Si n2, montrer que Aest semblable `a A0 1
1 0 .
(b) Si n3, montrer qu’il n’existe pas de solutions `a A2In0.
(c) nest maintenant quelconque. Calculer det Aet tr A.
2. Soit AMnRtelle que A2A0.
(a) n2, montrer que A0 ou Aest semblable `a A0 1
1 0 .
(b) Si n3, montrer que A0 ou Aest semblable `a A
0 1 0
100
000
.
Exercice 131 (Mines 2010).( )
Soit la matrice MMnCd´efinie par : i1, ..., n ,mi,i aet i, j
1, ..., n 2avec i j,mi,j bo`u a, b sont deux complexes donn´es.
1. Trouver deux complexes αet βtels que M2αM βIn0.
2. Mest-elle diagonalisable ? Si oui, donner ses ´el´ements propres.
3. Mest-elle inversible ? Si oui, donner son inverse.
Exercice 132. ( ) Soit A1 1
0 1 .
D´eterminer le polynˆome minimal de Aet calculer Anpour nN.
MATRICES D´ EFINIES PAR BLOC
Exercice 133. ( )
Soit B0 2A
A3Ao`u AMnC.
Est-il vrai que Aest diagonalisable si et seulement si Bl’est ?
Exercice 134. ( )
Soit BA A
0Ao`u AMnR.
1. Montrer que PRX,P B P A AP A
0P A .
2. Montrer que si Best diagonalisable, Al’est aussi et A0.
3. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante pour que Bsoit diagona-
lisable.
TRIGONALISATION
Exercice 135. ( )
Soit uLRntel que u2k2IdRnavec kR.
Montrer que un’est pas trigonalisable sur R. Qu’en est-il sur C?
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Exercice 136. ( ) Soit A
211
2 1 2
312
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Aet trigonaliser la matrice A.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
0 0
0 1
0 0
.)
Exercice 137. ( ) Soit B
011
1 1 2
3 1 2
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Bet trigonaliser la matrice B.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
0 0
0 1
0 0
.)
Exercice 138. ( ) Soit C
1 1 1
242
1 1 1
.
Calculer le polynˆome caract´eristique de Cet trigonaliser la matrice C.
(d´eterminer une base dans laquelle la matrice est semblable `a
1 0
0 1
0 0
.)
DIVERS
Exercice 139. ( )
Soit ERnet fLE. On suppose que fest diagonalisable.
Montrer que Ker f= Ker f2et Im f= Im f2.
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