Décomposition de Dunford

Sandrine CARUSO
Décomposition de Dunford
Référence : Oraux X-ENS, Francinou-Ginanella-Nicolas, algèbre 2, p 112
Théorème. Soit Kun corps, Eun K-espace vectoriel de dimension finie, et uun endo-
morphisme de Edont le polynôme caractéristique est scindé. Alors il existe un unique
couple (d, n)d’endomorphismes de Etels que
1. u=d+n,
2. dest diagonalisable,
3. nest nilpotent,
4. det ncommutent.
De plus, det nsont des polynômes en u.
Existence. Écrivons sous forme factorisée le polynôme caractéristique de u:
χu= (X−λ1)m1· · · (X−λr)mr
avec les λideux à deux distincts et mi>1. Notons Fi= ker(u−λi)mi. D’après le
théorème de décomposition des noyaux,
r
M
i=1
Fi= ker(χu(u)) = E.
D’après le lemme chinois, il existe un polynôme Ptel que pour tout i,P≡λi(mod (X−
λi)mi). On définit alors d=P(u). Par construction, dest un polynôme en u. Soit x∈Fi.
Il existe un polynôme Qtel que d(x) = P(u)(x)=(λi+Q×(X−λi)mi)(u)(x) =
λix+Q(u)◦(u−λiid)mi(x) = λixcar x∈ker(u−λiid)mi. Ainsi, dest diagonalisable,
de valeurs propres les λiet de sous-espaces propres les Fi. Posons n=u−d;nest
bien sûr aussi un polynôme en u, et par conséquent, il commute avec d. Montrons que
nest nilpotent. Notons ui,diet niles endomorphismes induits par, respectivement, u,
det nsur Fi. On a ni=ui−di=ui−λiidFi, et par définition de Fi,nmi
i= 0. Par
conséquent, nm= 0 avec m= max mi. Donc nest nilpotent.
Unicité. Considérons det nconstruits comme précédemment, et soit (d0, n0)un autre
couple d’endomorphismes vérifiant les propriétés 1à4du théorème. L’endomorphisme
d0commute avec n0, donc avec u=d0+n0. Par conséquent, il commute avec tout
polynôme en u. Or, on a montré que détait un polynôme en u, donc d0commute avec
d. De même, ncommute avec n0.
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Comme det d0sont diagonalisables et commutent, ils sont simultanément diagona-
lisables. En particulier, d−d0est diagonalisable.
Soient ptel que np= 0 et qtel que n0q= 0. Comme net n0commutent, la formule
du binôme donne
(n0−n)p+q=
p+q
X
k=0 p+q
kn0knp+q−k(−1)p+q−k.
Cette somme est nulle, car soit k>q, et n0k= 0, soit p+q−k>p, et np+q−k= 0.
Donc n0−nest nilpotent.
Or, n0−n=d−d0. Le seul endomorphisme diagonalisable et nilpotent est 0, donc
n=n0et d=d0.
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