L`Arganier des mathématiques Devoir surveillé III MP1

L’Arganier des mathématiques
Devoir surveillé III
MP1
Ahmed HFA
Agrégé de mathématique
30 octobre 2016
Premier Problème
.Dans ce problème la lettre K désigne un sous corps de C et E un K espace vectoriel non nul de dimension
finie , de dimension notée n
.Soit k un entier naturel supérieur ou égale à 2 .On dit que les endomorphismes u1 , . . . , uk de E constituent
une partition de l’identité si u1 + u2 + . . . + uk = idE
I
Première partie :Étude de deux exemples
.Un premier exemple.
Dans cette partie n = 3 , E = R3 et u un endomorphisme de E dont la matrice dans la base canonique est


0 1 0 


A = 0 0 0 


0 0 −1
1 Déterminer les valeurs propres de u
2 u est -il diagonalisable ?(à justifier)
3 Déterminer le polynôme minimal de u
4 Déterminer deux polynômes Q1 et Q2 de R[X] pour lesquels les endomorphismes Q1 (u) et Q2 (u) sont
des projecteurs et constituent une partition de l’identité de R3
.Deuxième exemple.
Dans cette partie on considère un endomorphisme u de E diagonalisable et possédant k valeurs propres
distinctes λ1 , . . . , λk
5 Déterminer le polynôme minimal de u
6 En déduire que E =
k
M
Eλi (u) (∗) (Citer le théorème utilisé).On considère dans la suite la famille
i=1
(pi )1≤i≤k des projecteurs associés à la décomposition (∗).
7 Montrer que les projecteurs p1 , . . . , pk constituent une partition de l’identité
8 Montrer que u =
k
X
λ i pi
i=1
9 Montrer que ∀P ∈ K[X] , P (u) =
k
X
P (λi )pi
i=1
10 En déduire ∀i ∈ [[1, k]] , ∃Li ∈ K[X] , pi = Li (u)
II
Deuxième partie : Cas général
Soit k endomorphismes u1 , . . . , uk de E qui constituent une partition de l’identité de E .Pour i ∈ [[1, k]] , on note
ri le rang de l’endomorphisme ui
1 Montrer que E =
k
X
i=1
I m(ui ) et n ≤
k
X
ri
i=1
2 Montrer que les sous espaces vectoriels I m(u1 ) , I m(u2 ) . . . , I m(uk ) sont en somme directe si, et seulek
X
ment si n =
ri
i=1
22
3 Montrer l’équivalence des propositions suivantes :
k
X
ri = n
.1).
i=1
.2). Les endomorphismes u1 , . . . , uk sont des projecteurs de E
.3). Pour tout (i, j) ∈ [[1, k]]2 , i , j ⇒ ui ouj = 0L(E)
III
Troisième partie
Dans cette partie u est un endomorphisme de E tel qu’il existe un entier non nul m , des scalaires λ1 , . . . , λm
m
X
k
λki pi
deux à deux distincts et des endomorphismes non nuls p1 , . . . , pm de E tels que ∀k ∈ [[0, m]] , u =
i=1
1 Vérifier que les endomorphismes p1 , . . . , pm constituent une partition de l’identité
2 En déduire que E =
m
X
I m(pi )
i=1
3 Montrer que ∀P ∈ Km [X] , P (u) =
m
X
P (λi )pi
i=1
4 En déduire que les endomorphismes p1 , . . . , pm sont des polynômes en u
5 Montrer que ∀i ∈ [[1, m]] , I m(pi ) ⊂ ker(u − λi .idE )
6 Montrer que u est diagonalisable et que les valeurs propres de u sont les scalaires λ1 , . . . , λm et que pour
tout i ∈ [[1, m]] , I m(pi ) = Eλi (u)
7 Montrer que ∀(i, j) ∈ [[1, m]]2 , pi opj = δi,j .pi
8 Etablir que : ∀i ∈ [[1, m]] , pi ou = λi pi
9 Montrer que ∀k ∈ N , u k =
m
X
λki pi
i=1
10 En déduire que ∀P ∈ K[X] , P (u) =
m
X
P (λi )pi
i=1
Deuxième Problème
Dans ce problème n est un entier naturel non nul
Trois questions préliminaires
1 Montrer que si Q est un polynôme scindé à racines simples dans K alors Q ∧ Q0 = 1
2 Montrer que si le polynôme minimale d’une matrice carrée est scindé à racines simples sur K , alors elle
est diagonalisable
3 Soit A une matrice carrée d’ordre n .On suppose que A admet une valeur propre λ d’ordre n .Donner une
condition nécéssaire et suffisante pour que A soit diagonalisable
Première partie :
!
A A
L’objectif de cette partie est de montrer la proposition suivante : Si la matrice M =
avec A ∈ Mn (K)
0 A
, est diagonalisable, alors A = 0n . On suppose alors que M est diagonalisable et notons λ1 , . . . , λr ses valeurs
propres distinctes deux à deux
33
1 Montrer que : ∀k ∈ N∗ , M k =
Ak
0
kAk
Ak
!
P (A) AP 0 (A)
2 En déduire que ∀P ∈ K[X] , P (M) =
0
P (A)
!
0
3 Montrer que πA divise πM et divise aussi XπM
4 Montrer qu’il existe des matrices M1 , . . . , Mr telles que ∀i ∈ [[1, r]] , Mi2 = Mi et M =
r
X
λk .Mk
k=1
5 Montrer que le polynôme minimal de M est scindé à racine simples dans K
6 En déduire que A est diagonalisable
0
7 Montrer que si A est inversible alors πA divise πM
8 En déduire une contradiction puis conclure
9 Soit λ ∈ K une valeur propre de A .
0
a. Montrer que λ est une racine commune de πM et XπM
b. En déduire que λ = 0
c. Conclure
Deuxième partie :
Soit A et B deux matrice carrées d’ordre n et M la matrice triangulaire par blocs définie par M =
1 Montrer que ∀k
∈ N∗
,
Mk
Ak
=
0
!
A B
0 A
!
kAk−1 B
Ak
2 Calculer P (M) , pour P ∈ K[X]
3 Montrer que la matrice M et A ont même valeurs propres et que ∀λ ∈ Sp(A) , mλ (M) = 2mλ (A)
On suppose dans la suite que M est diagonalisable
4 Montrer que A est diagonalisable
5 En déduire que ∀λ ∈ Sp(A) , dim (Eλ (M)) = 2 dim (Eλ (A))
0
6 Montrer que πM
(A) est inversible
7 En déduire que B = 0n
44