Logique TD2 : Principe de récurrence

Université Paris 13 L1
Institut Galilée Année 2014-2015
Licence 1 - 2eme semestre
Logique
TD2 : Principe de récurrence
L’objectif de ce TD est d’arriver à maîtriser la récurrence sous toutes ses formes. Dans cha-
cune des questions suivantes, il vous sera demandé d’établir un raisonnement par récurrence,
puis d’analyser vos résultats pour voir s’ils sont justes ou non.
Sauf mention contraire, les exercices ne sont pas liés entre eux.
Exercice 1
1. Écrivez de façon développée (avec des pointillés) l’expression
n
X
i=1
n2
2. Que vaut
n
X
i=1
n2pour n= 4 ?
3. Montrez que, ∀n∈N∗,
n
X
i=1
n2=n2(n+ 1)2
4.
Exercice 2
1. Que vaut
n
X
i=1
(2n−1) pour n= 4 ?
2. Écrivez de façon développée (avec des pointillés) l’expression
n
X
i=1
(2n−1)
3. Montrez que, ∀n∈N∗,
n
X
i=1
(2n−1) = n2
Exercice 3 On pose la proposition suivante : P(n): "32n+4 −2nest divisible par 7".
1. Montrez que, si P(n)est vraie, alors P(n+ 1) est vraie.
2. Peut-on conclure que, ∀n∈N∗,P(n)est vraie ?
Exercice 4 On pose la proposition suivante : P(n): "4n+ 1 est divisible par 3".
1. Montrez que, si P(n)est vraie, alors P(n+ 1) est vraie.
2. Peut-on conclure que, ∀n∈N∗,P(n)est vraie ?
3. Montrez alors que, ∀n∈N∗,P(n)est fausse.
Exercice 5 On voudrait savoir si, ∀n∈N∗tel que n≥2,n2−n+ 1
n2≥1
On pose la proposition suivante : P(n): "n2−n+ 1
n2≥1".
1. Montrez que P(1) est vraie.
2. Montrez que, ∀n≥2, si P(n)est vraie, alors P(n+ 1) est vraie.
3. Qu’en concluez-vous ?
1

Exercice 6 Est-ce que, pour nentier, 2n> n2? Commencez par établir l’héritage de la
propriété, puis par trouver une initialisation...
Exercice 7 Soit la suite (un)n∈Ntelle que u0= 0,u1=−2, et un+2 = 3un+1 −2un. Montrez
que, pour tout n∈N,un= 2 −2n+1.
Exercice 8 Montrez que, ∀a∈R+,∀n∈N∗,(1 + a)n≥1 + na.
Exercice 9 Soit E1, ..., En,nensembles distincts deux à deux. On souhaite montrer qu’au
moins un de ces ensembles n’en contient aucun autre.
1. Essayez de trouver un contre-exemple pour n= 3 (en dessinant vos ensembles comme
des cercles).
2. Montrez par récurrence que cette propriété est vraie.
Exercice 10 Pour tout ensemble A1et A2,A1∪A2=¯ A1∩¯ A2. Montrez que A1∪A2∪... ∪An=
¯
A1∩¯ A2∩... ∩¯ An.
Exercice 11 On dit qu’un réel aest bien équilibré s’il est égale à la moyenne de deux réels
bien équilibrés. 0et 1sont bien équilibrés.
1. Pouvez-vous montrer que 0.5est bien équilibré ?
2. Qu’en est-il de 0.25 et 0.75 ?
3. Combien y a-t-il de nombres bien équilibrés entre 0et 1?
4. Tous les nombres entre 0et 1sont-ils bien équilibrés ?
Exercice 12 Nous souhaitons établir que, si on prend un ensemble fini de points quelconques
dans le plan, ils seront tous alignés (ils seront tous sur la même droite).
1. Est-ce que cela vous semble vrai ?
Posons P(n): "Dans tout ensemble de n points, tous les points sont alignés (sont sur la
même droite)".
2. Est-ce que P(1) est vraie ? Est-ce que P(2) est vraie ?
Supposons que P(n)soit vraie, c’est à dire que pour tout ensemble de npoints quelconques,
tous les points dans l’ensemble sont alignés (sont sur une même droite). Considérons un
ensemble A= (p1, p2, ..., pn, pn+1)de (n+ 1) points. Nous souhaiterions monter que tous les
points de Asont nécessairement alignés...
3. Est-ce que cela vous semble vrai ?
4. Posons A1= (p1, p2, ..., pn). Comme la proposition P(n)est supposée vraie, qu’en
déduisez-vous concernant les points de A1?
5. Posons A2= (p2, ..., pn, pn+1). Comme la proposition P(n)est supposée vraie, qu’en
déduisez-vous concernant les points de A2?
6. Comme A1et A2ont au moins deux points en communs (p2et pn), qu’en déduisez-vous
concernant A=A1∪A2.
7. Alors, est-ce que la proposition P(n)est vraie pour tout n?
Exercice 13 Démontrez que, ∀n≥1,xnest dérivable et sa dérivée vaut nxn−1. On suppo-
sera que (u.v)0=u0.v +u.v0et que la dérivée de la fonction xvaut 1.
Exercice 14 Montrez (par récurrence) qu’un entier positif dest soit premier, soit admet un
diviseur premier.
Indice : il faudra utiliser ici une récurrence d’ordre supérieur.
Exercice 15 Pouvez-vous montrer que tout entier pair est la somme de deux nombres pre-
miers ?
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