CORRECTION DM1 24 septembre 2013 Activité _Somme de cubes 1. Problème ouvert à l’aide de l’ordinateur Le but de ce problème est de comparer les deux sommes s n = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 et Sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 3 . A. Conjecturer le lien entre les deux sommes à l’aide du logiciel adapté. Vous pourrez calculer les premiers termes de chacune des deux suites pour 𝑛 = 1, puis pour 𝑛 = 2 etc… Suite à la lecture des termes sur le tableur, nous pouvons émettre la conjecture suivante : 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ² B. Démontrer cette conjecture en utilisant le raisonnement adapté. On utilisera : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = 𝑛(𝑛+1) 2 . Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ . Posons 𝑃𝑛 la propriété « 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ² » Démontrons 𝑃𝑛 par récurrence : Initialisation: Vérifions que 𝑃1 est vraie, c’est-à-dire : « 𝑆1 = 𝑠1 ² » Or 𝑆1 = 13 = 1 = 1² = 𝑠1 ². 𝑃1 est donc vraie. Hérédité : Soit 𝑘 ∈ ℕ∗ . Supposons que 𝑃𝑘 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘 = 𝑠𝑘 ² ». Montrons que 𝑃𝑘+1 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘+1 ² = (𝑘+1)2 [𝑘+2]² 2² ». 𝑘 3 3 3 Or : 𝑆𝑘+1 = ∑𝑘+1 𝑖=1 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑖 + (𝑘 + 1) par décomposition de la somme. D’où : 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + (𝑘 + 1)3 par définition de 𝑆𝑘 Ainsi : 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘 ² + (𝑘 + 1)3 grâce à l’hypothèse de récurrence Sachant que : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 = 𝑛(𝑛+1) 𝑘(𝑘+1) 2 2 , 𝑆𝑘+1 = ( En factorisant : 𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)2 [ Finalement : 𝑆𝑘+1 = Donc 𝑃𝑘+1 est vraie. Conclusion : 𝑘2 4 (𝑘+1)2 [𝑘 2 +4𝑘+4] 4 )² + (𝑘 + 1)3 + 𝑘 + 1] = (𝑘+1)2 [𝑘+2]² 2² en reconnaissant une identité remarquable. CORRECTION DM1 24 septembre 2013 Nous avons vérifié que 𝑃1 est vraie. Pour tout 𝑘 ∈ ℕ∗ , nous avons montré que si 𝑃𝑘 est vraie, alors 𝑃𝑘+1 est vraie. Donc pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑃𝑛 est vraie. 2. Algorithme de calcul sur calculatrice On désire créer un algorithme permettant de donner les valeurs successives de la somme sn = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 . Faites tourner l’algorithme sous forme de boite et flêches ci-contre et déterminer s2 , s10, s20. Voici les deux algorithmes dévoilés sur le logiciel PYTHON.