CORRECTION DM1

CORRECTION DM1
24 septembre 2013
Activité _Somme de cubes
1. Problème ouvert à l’aide de l’ordinateur
Le but de ce problème est de comparer les deux sommes sn = 
 et Sn =   .
A. Conjecturer le lien entre les deux sommes à l’aide du logiciel adapté.
Vous pourrez calculer les premiers termes de chacune des deux suites pour   , puis pour    etc…
Suite à la lecture des termes sur le tableur, nous pouvons émettre la
conjecture suivante : 
B. Démontrer cette conjecture en utilisant le raisonnement
adapté.
On utilisera : sn =
.
Soit   Posons 
 la propriété «   »
Démontrons 
 par récurrence :
Initialisation:
Vérifions que 
est vraie, c’est-à-dire : «   »
Or        .
est donc vraie.
Hérédité :
Soit    Supposons que  est vraie c’est-à-dire «   ».
Montrons que  est vraie c’est-à-dire «     
 ».
Or :  
 par décomposition de la somme.
D’où :      par définition de 
Ainsi :        grâce à l’hypothèse de récurrence
Sachant que : sn =
,   
En factorisant :    
Finalement :  
 en reconnaissant une identité remarquable.
Donc  est vraie.
Conclusion :

CORRECTION DM1
24 septembre 2013
 Nous avons vérifié que 
est vraie.
 Pour tout    nous avons montré que si est vraie, alors  est vraie.
 Donc pour tout    
 est vraie.
2. Algorithme de calcul sur calculatrice
On désire créer un algorithme permettant de donner les valeurs successives de la somme sn = 
 .
Faites tourner l’algorithme sous forme de boite et flêches ci-contre et déterminer s2 , s10, s20.
Voici les deux algorithmes dévoilés sur le logiciel PYTHON.