M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie des

M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie des ensembles
TD 2 Vendredi 25 septembre
Exercice 1.
(a) Soient M⊆N deux L-structure. On suppose que pour tous a1, . . . , an∈Met tout b∈Nil existe
un automorphisme σde Ntel que σ(ai) = aipour 1≤i≤net σ(b)∈M. Montrer que MN.
(b) Montrer que (Q,≤)(R,≤)
(c) Soient M= (M, 0,+,(λa)a∈K)et N= (N, 0,+,(λa)a∈K)deux espaces vectoriels sur un corps K. On
suppose qu’ils sont de dimension infinie. Montrer que tout plongement de Mdans Nest élémentaire.
Exercice 2. Si Test une théorie dans un langage L, on note T∀l’ensemble des énoncés universel conséquence
de T. Si T0est une théorie dans un langage L0⊇ L, on note T0
L,∀l’ensemble des énoncés universel du langage
Lqui sont conséquence de T0.
(a) Montrer que M |=T∀ssi Mse plonge dans un modèle de Tssi toute sous-structure finiment
engendrée de Mse plonge dans un modèle de T.
(b) Déterminer T∀dans les cas suivants
—Test la théorie des ordres denses sans extrémités dans L={≤}
—Test la théorie de la relation d’équivalence ayant une infinité de classes toutes infinies L={E}.
—Test la théories des corps algébriquement clos dans L={0,1,+,×,−}.
(c) Soit T0est une théorie dans le langage L0⊇ L. Caractériser les modèles de T0
L,∀.
Application : Un groupe ordonné est une structure G= (G, e, .,−1,≤)où (G, e, .,−1)est un groupe
et ≤est un ordre total compatible avec .: pour tous a, b, c ∈G, si a≤balors ca ≤cb et ac ≤bc. Un
groupe est ordonnable si on peut le munir d’un ordre total qui en fait un groupe ordonné. Montrer
que la classe des groupes ordonnables est axiomatisable dans le langage des groupes L={e, .,−1}.
Exercice 3.
On fixe un langage L. L’ensemble des formules "positives" est le plus petit ensemble de formules de L
qui contient les formules atomiques et qui est clos par conjonction, disjonction et quantification existentielle
et universelle (ce sont donc les formules qui ne contiennent pas les symboles ¬,→et ↔.)
(a) Soient Met Ndeux L-structures et σune application de Mdans N. Montrez que si σest un homo-
morphisme surjectif alors pour toute formule positive φ=φ(x1, . . . , xn), et tout ¯a=a1, . . . , an⊂M,
si M |=φ(¯a)alors N |=φ(σ(¯a)).
(b) Soit Tune théorie dans Let soit φ=φ(x1, . . . , xn)une formule positive sans quantificateurs (en
abrégé : p.s.q.). Montrez que la propriété suivante (notée (*)) est satisfaite :
pour tous modèles Met Nde T, si σest un homomorphisme d’une sous-structure M0de Mdans
Nalors pour tout ¯a=a1, . . . , an⊂M0, si M |=φ(¯a)alors N |=φ(σ(¯a)).
(c) Soit φ=φ(x1, . . . , xn)une formule ayant la propriété (*) pour la théorie T. On veut montrer que φ
est équivalente modulo Tà une formule positive sans quantificateurs.
Soit Σ(¯x) = {θ=θ(¯x)formule p.s.q. ;T`(θ→φ)}.
— Montrez qu’il suffit de vérifier que la théorie T∪ {¬θ(c1, . . . , cn) ; θ∈Σ} ∪ {φ(c1, . . . , cn)}, où
¯c=c1...,cnsont des nouvelles constantes, est inconsistante.
— Soit M |=T. Supposons qu’il existe ,¯a=a1, . . . , an∈Mtels que M |=φ(¯a)et M |=¬θ(¯a)pour
θ∈Σ(¯x). Montrer que la théorie
T∪ {θ(c1, . . . , cn) ; θ=θ(¯x)formule p.s.q. et M |=θ(¯a)} ∪ {¬φ(c1, . . . , cn)}
est consistante. En déduire que la propriété (*) n’est pas vérifiée (On pourra considérer la sous-
structure de Mengendrée par ¯a)

— Conclure.
Exercice 4. On rapelle que si Mest une L-structure dont l’ensemble de base est noté M, alors LMdésigne
le langage L ∪ {ca;a∈M}où pour chaque a∈M,caest un nouveau symbole de constante (i.e. ca
n’est pas dans Let ca6=cbsi a6=b). Les notations Dat(M),Dsq (M),Del(M)désignent respectivement le
diagramme atomique, le diagramme sans quantificateurs et le diagramme élémentaire de M.
Soient M,Net M0trois L-structures. On suppose que MN et que hest un L-momorphisme de M
dan M0.
(a) Soit φ=φ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)une formule de L,a1, . . . , an∈Met b1, . . . , bm∈N. Montrez
que si N |=φ(a1, . . . , an, b1, . . . , bm)et si φest une conjonction de formules atomiques alors M0|=
(∃y1. . . ∃ymφ)(h(a1), . . . , h(an))
(b) Montrer qu’il existe une extension élémentaire N0de M0et un homomorphisme h0:N→N0qui
prolonge h(Indication : on pourra considérer la théorie suivante du langage LN,M 0=L ∪ {ca;a∈
N}∪{de;e∈M0}:
Dat(N)∪ Del(M0)∪ {ca=dh(a);a∈M})
.
(c) Si le L-morphisme hest surjectif et si M0est finie alors on dit que M0est une image finie de M.
Déduire de la question précédente que toute image finie de Mest aussi une image finie de N.
(d) Dans cette question L={.,−1, e}est le langage des groupes. On rappelle qu’un groupe est simple s’il
n’a pas de sous-groupe normal, ce qui équivaut à dire que tout homomorphisme non trivial (i.e. non
nul) de ce groupe dans un autre groupe est injectif. Montrer que toute sous-structure élémentaire
d’un groupe simple est encore un groupe simple.
(Remarque : en général un groupe élémentairement équivalent à un groupe simple n’est pas simple).
Exercice 5. Questions diverses
(a) Soit Tune théorie préservée par extension. Montrer que Test équivalente à T∃(l’ensemble des
conséquences existentielles de T). Indication : on pourra commencer par montrer que si N |=T∃
alors T∪T h(N)∀est consistante.
(b) Montrer que le fait d’être simple pour un groupe n’est pas une propriété du premier ordre (Indication :
on pourra considérer les groupes Z/pZoù pest un nombre premier).