M2 Logique 2015-2016 Théorie des modèles et théorie des

M2 Logique 2015-2016
TD 2
Théorie des modèles et théorie des ensembles
Vendredi 25 septembre
Exercice 1.
(a) Soient M ⊆ N deux L-structure. On suppose que pour tous a1 , . . . , an ∈ M et tout b ∈ N il existe
un automorphisme σ de N tel que σ(ai ) = ai pour 1 ≤ i ≤ n et σ(b) ∈ M . Montrer que M N .
(b) Montrer que (Q, ≤) (R, ≤)
(c) Soient M = (M, 0, +, (λa )a∈K ) et N = (N, 0, +, (λa )a∈K ) deux espaces vectoriels sur un corps K. On
suppose qu’ils sont de dimension infinie. Montrer que tout plongement de M dans N est élémentaire.
Exercice 2. Si T est une théorie dans un langage L, on note T∀ l’ensemble des énoncés universel conséquence
0
de T . Si T 0 est une théorie dans un langage L0 ⊇ L, on note TL,∀
l’ensemble des énoncés universel du langage
0
L qui sont conséquence de T .
(a) Montrer que M |= T∀ ssi M se plonge dans un modèle de T ssi toute sous-structure finiment
engendrée de M se plonge dans un modèle de T .
(b) Déterminer T∀ dans les cas suivants
— T est la théorie des ordres denses sans extrémités dans L = {≤}
— T est la théorie de la relation d’équivalence ayant une infinité de classes toutes infinies L = {E}.
— T est la théories des corps algébriquement clos dans L = {0, 1, +, ×, −}.
0
(c) Soit T 0 est une théorie dans le langage L0 ⊇ L. Caractériser les modèles de TL,∀
.
−1
Application : Un groupe ordonné est une structure G = (G, e, ., , ≤) où (G, e, .,−1 ) est un groupe
et ≤ est un ordre total compatible avec . : pour tous a, b, c ∈ G, si a ≤ b alors ca ≤ cb et ac ≤ bc. Un
groupe est ordonnable si on peut le munir d’un ordre total qui en fait un groupe ordonné. Montrer
que la classe des groupes ordonnables est axiomatisable dans le langage des groupes L = {e, .,−1 }.
Exercice 3.
On fixe un langage L. L’ensemble des formules "positives" est le plus petit ensemble de formules de L
qui contient les formules atomiques et qui est clos par conjonction, disjonction et quantification existentielle
et universelle (ce sont donc les formules qui ne contiennent pas les symboles ¬, → et ↔.)
(a) Soient M et N deux L-structures et σ une application de M dans N . Montrez que si σ est un homomorphisme surjectif alors pour toute formule positive φ = φ(x1 , . . . , xn ), et tout ā = a1 , . . . , an ⊂ M ,
si M |= φ(ā) alors N |= φ(σ(ā)).
(b) Soit T une théorie dans L et soit φ = φ(x1 , . . . , xn ) une formule positive sans quantificateurs (en
abrégé : p.s.q.). Montrez que la propriété suivante (notée (*)) est satisfaite :
pour tous modèles M et N de T , si σ est un homomorphisme d’une sous-structure M0 de M dans
N alors pour tout ā = a1 , . . . , an ⊂ M0 , si M |= φ(ā) alors N |= φ(σ(ā)).
(c) Soit φ = φ(x1 , . . . , xn ) une formule ayant la propriété (*) pour la théorie T . On veut montrer que φ
est équivalente modulo T à une formule positive sans quantificateurs.
Soit Σ(x̄) = {θ = θ(x̄) formule p.s.q. ; T ` (θ → φ)}.
— Montrez qu’il suffit de vérifier que la théorie T ∪ {¬θ(c1 , . . . , cn ) ; θ ∈ Σ} ∪ {φ(c1 , . . . , cn )}, où
c̄ = c1 . . . , cn sont des nouvelles constantes, est inconsistante.
— Soit M |= T . Supposons qu’il existe ,ā = a1 , . . . , an ∈ M tels que M |= φ(ā) et M |= ¬θ(ā) pour
θ ∈ Σ(x̄). Montrer que la théorie
T ∪ {θ(c1 , . . . , cn ) ; θ = θ(x̄) formule p.s.q. et M |= θ(ā)} ∪ {¬φ(c1 , . . . , cn )}
est consistante. En déduire que la propriété (*) n’est pas vérifiée (On pourra considérer la sousstructure de M engendrée par ā)
— Conclure.
Exercice 4. On rapelle que si M est une L-structure dont l’ensemble de base est noté M , alors LM désigne
le langage L ∪ {ca ; a ∈ M } où pour chaque a ∈ M , ca est un nouveau symbole de constante (i.e. ca
n’est pas dans L et ca 6= cb si a 6= b). Les notations Dat (M), Dsq (M), Del (M) désignent respectivement le
diagramme atomique, le diagramme sans quantificateurs et le diagramme élémentaire de M.
Soient M, N et M0 trois L-structures. On suppose que M N et que h est un L-momorphisme de M
dan M0 .
(a) Soit φ = φ(x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) une formule de L, a1 , . . . , an ∈ M et b1 , . . . , bm ∈ N . Montrez
que si N |= φ(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm ) et si φ est une conjonction de formules atomiques alors M0 |=
(∃y1 . . . ∃ym φ)(h(a1 ), . . . , h(an ))
(b) Montrer qu’il existe une extension élémentaire N 0 de M0 et un homomorphisme h0 : N → N 0 qui
prolonge h (Indication : on pourra considérer la théorie suivante du langage LN,M 0 = L ∪ {ca ; a ∈
N } ∪ {de ; e ∈ M 0 } :
Dat (N ) ∪ Del (M0 ) ∪ {ca = dh(a) ; a ∈ M })
.
(c) Si le L-morphisme h est surjectif et si M0 est finie alors on dit que M0 est une image finie de M.
Déduire de la question précédente que toute image finie de M est aussi une image finie de N .
(d) Dans cette question L = {.,−1 , e} est le langage des groupes. On rappelle qu’un groupe est simple s’il
n’a pas de sous-groupe normal, ce qui équivaut à dire que tout homomorphisme non trivial (i.e. non
nul) de ce groupe dans un autre groupe est injectif. Montrer que toute sous-structure élémentaire
d’un groupe simple est encore un groupe simple.
(Remarque : en général un groupe élémentairement équivalent à un groupe simple n’est pas simple).
Exercice 5. Questions diverses
(a) Soit T une théorie préservée par extension. Montrer que T est équivalente à T∃ (l’ensemble des
conséquences existentielles de T ). Indication : on pourra commencer par montrer que si N |= T∃
alors T ∪ T h(N )∀ est consistante.
(b) Montrer que le fait d’être simple pour un groupe n’est pas une propriété du premier ordre (Indication :
on pourra considérer les groupes Z/pZ où p est un nombre premier).