Devoir no 10

MPSI I
2012-2013
Mathématiques
Devoir no 10
Problème 1 Le but est de calculer la limite de la suite de terme général k=1 k12 en utilisant les
propriétés des polynômes.
C[X] désigne l’anneau des polynômes à coefficients complexes, R[X] le sous-anneau des polynômes
à coefficients réels.
Pp
Question 0.1 Soit P(X) = j ≥0 a j X j dans C[X], on note P(X) =
dans R[X] si et seulement si P(X) = P(X).
P
P
j ≥0 a j X
j
. Montrer que P(X) est
Question 0.2 Montrer qu’un polynôme P(X) est un polynôme pair, i.e. P(−X) = P(X), si et seulement s’il existe un polynôme Q tel que P(X) = Q(X 2 ).
Pour n entier strictement positif, le polynôme Pn est Pn = 2i1 ((X + i)2n+1 − (X − i)2n+1 ).
Question 0.3 Montrer que Pn appartient à R[X]. Soit Pn (X) = 0≤ j ≤m a j X j où deg Pn = m . Préciser le degré m de Pn et calculer les coefficients am , am−1 et am−2 .
P
Question 0.4 Montrer que Pn est pair. En déduire qu’il existe un polynôme Qn tel que Pn (X) =
Qn (X 2 ). Calculer les deux monômes de plus haut degrés de Qn .
Question 0.5 Calculer P j et Q j pour j = 1 et j = 2.
Question 0.6 Calculer les racines de Pn et les racines de Qn .
Question 0.7 Factoriser les polynômes Pn et Qn .
Question 0.8 En utilisant les questions précédentes :
– Calculer la somme des racines de Qn .
P
kπ
– Calculer la somme S n définie par : S n = nk=1 cot2 2n+1
.
Pn
1
– Calculer la somme Tn définie par : Tn = k=1 2 kπ
sin
¤
£
Question 0.9 Prouver l’inégalité : ∀x ∈ 0, π2
,
2n+1
cot2 x ≤
1
x2
≤
1
.
sin2 x
Question 0.10 Pour tout entier p strictement positif, on pose : u p = k=1 k12 . En utilisant ce
qui précède, montrer que la suite (u p )p≥1 est convergente et calculer sa limite.
Pp
1
Devoir no 10 bis
Polynômes de Tchebycheff
Exercice 1 Dans cet exercice on notera de la même façon un polynôme et la fonction polynôme
associée. On désigne par C? l’ensemble des nombres complexes non nuls. Par convention : ∀z ∈
C? , z 0 = 1 .
½
On considère l’application f :
Propriétés algébriques de f .
C?
z
→
7
→
C
z + 1z
Question 1.1 1.1.1 Montrer que f est surjective.
Soit Γ = {z ∈ C/|z| = 1}.
1.1.2 Déterminer l’image F de Γ par f .
1.1.3 Montrer que l’image réciproque de F est Γ.
Soit D = {z ∈ C/0 < |z| < 1}.
1.1.4 Montrer que l’application g :
½
D
z
CàF
z + 1z
→
7
→
est une bijection.
Étude d’une suite de polynômes.
Question 1.2
1.2.1
¡
¢ Montrer que pour tout entier positif ou nul n , il existe un unique polynôme
Pn tel que : ∀z ∈ C? , f (z n ) = Pn ( f (z)) et que : ∀n Ê 1, Pn+1 = XPn − Pn−1 .
1.2.2 En déduire que Pn (2 cos(α)) = 2 cos(nα).
1.2.3 Expliciter P0 , P1 , P2 , P3 .
1.2.4 Calculer le terme dominant de Pn que l’on notera Tn , ainsi que le terme de plus petite
valuation, qui sera noté S n .
1.2.5 Montrer que l’application P 7→ P ◦ f de C[X] dans C(X) est injective.
On définit Pn pour n négatif par : Pn = P−n .
1.2.6 Montrer que pour tous entiers m et n :
Pm ◦ Pn = Pmn et : Pn Pm = Pm+n + Pm−n .
n
1.2.7 Démontrer que pour tous entiers positifs m et n : Pm
=
1.2.8 Montrer que pour tout polynôme P =
P
tels que : P = m≥0 am Pm .
P
k≥0 b k X
k
Pb n2 c ¡n ¢
P
.
k=0 k (n−2k)m
, il existe des coefficients (am )m≥0 uniques,
1.2.9 Chercher les P ∈ Cn [X] (n ∈ N) tels que P(X) − 2 = P(X 2 − 2).
¢2
¡
1.2.10 Étudier la parité de Pn .
2
Pour tout nombre entier n strictement positif, on considère l’équation algébrique dans C :
(En ) : Pn (x) = 0.
Question 1.3 1.3.1 n étant un entier positif, résoudre l’équation z 2n + 1 = 0 dans C.
1.3.2 Résoudre l’équation (En ).
1.3.3 Calculer le produit des racines de Pn .
Question 1.4 Pour n ∈ N, montrer que ∀ϑ ∈ R, Pn (2 cos ϑ) = 2 cos(nϑ). En dérivant deux fois cette
identité, déterminer des polynômes An , Bn et Cn de degrés respectifs 2, 1 et 0 tels que An Pn00 +
Bn Pn0 + Cn Pn = 0. En déduire les coefficients (a k )0≤k≤n de Pn . On pourra déterminer séparément
les an−2p et les an−2p−1 .
Étant donné un nombre complexe b , on considère pour tout n entier strictement supérieur à 2
l’équation algébrique dans C : (Fn ) : Pn (x) = b .
Question 1.5 On suppose que b n’appartient pas à l’intervalle réel [−2, 2].
1.5.1 Montrer que (Fn ) admet n solutions distinctes.
On suppose que b appartient à l’intervalle réel [−2, 2] et on pose θ = arccos b2 .
1.5.2 Exprimer les solutions de (Fn ) en fonction de θ.
1.5.3 Pour quelles valeurs de b le polynôme Pn − b admet-il des racines doubles ?
1.5.4 Décomposer en éléments simples sur C, la fraction rationnelle
3
1
Pn .