Devoir no 10

MPSI I
2012-2013
Mathématiques
Devoir no10
Problème 1 Le but est de calculer la limite de la suite de terme général Pp
k=1
1
k2en utilisant les
propriétés des polynômes.
C[X] désigne l’anneau des polynômes à coefficients complexes, R[X] le sous-anneau des polynômes
à coefficients réels.
Question 0.1 Soit P(X) =Pj≥0ajXjdans C[X], on note P(X) =Pj≥0ajXj. Montrer que P(X) est
dans R[X] si et seulement si P(X) =P(X).
Question 0.2 Montrer qu’un polynôme P(X) est un polynôme pair, i.e. P(−X) =P(X), si et seule-
ment s’il existe un polynôme Qtel que P(X) =Q(X2).
Pour nentier strictement positif, le polynôme Pnest Pn=1
2i ((X +i)2n+1−(X −i)2n+1).
Question 0.3 Montrer que Pnappartient à R[X]. Soit Pn(X) =P0≤j≤majXjoù degPn=m. Pré-
ciser le degré mde Pnet calculer les coefficients am,am−1et am−2.
Question 0.4 Montrer que Pnest pair. En déduire qu’il existe un polynôme Qntel que Pn(X) =
Qn(X2). Calculer les deux monômes de plus haut degrés de Qn.
Question 0.5 Calculer Pjet Qjpour j=1et j=2.
Question 0.6 Calculer les racines de Pnet les racines de Qn.
Question 0.7 Factoriser les polynômes Pnet Qn.
Question 0.8 En utilisant les questions précédentes :
– Calculer la somme des racines de Qn.
– Calculer la somme Sndéfinie par : Sn=Pn
k=1cot2kπ
2n+1.
– Calculer la somme Tndéfinie par : Tn=Pn
k=1
1
sin2kπ
2n+1
Question 0.9 Prouver l’inégalité : ∀x∈¤0, π
2£, cot2x≤1
x2≤1
sin2x.
Question 0.10 Pour tout entier pstrictement positif, on pose : up=Pp
k=1
1
k2. En utilisant ce
qui précède, montrer que la suite (up)p≥1est convergente et calculer sa limite.
1

Devoir no10 bis
Polynômes de Tchebycheff
Exercice 1 Dans cet exercice on notera de la même façon un polynôme et la fonction polynôme
associée. On désigne par C?l’ensemble des nombres complexes non nuls. Par convention : ∀z∈
C?,z0=1.
On considère l’application f:½C?→C
z7→ z+1
z
Propriétés algébriques de f.
Question 1.1 1.1.1 Montrer que fest surjective.
Soit Γ={z∈C/|z| = 1}.
1.1.2 Déterminer l’image Fde Γpar f.
1.1.3 Montrer que l’image réciproque de Fest Γ.
Soit D={z∈C/0 < |z| < 1}.
1.1.4 Montrer que l’application g:½D→CàF
z7→ z+1
z
est une bijection.
Étude d’une suite de polynômes.
Question 1.2 1.2.1 Montrer que pour tout entier positif ou nul n, il existe un unique polynôme
Pntel que : ¡∀z∈C?¢,f(zn)=Pn(f(z)) et que : ∀nÊ1, Pn+1=XPn−Pn−1.
1.2.2 En déduire que Pn(2cos(α)) =2cos(nα).
1.2.3 Expliciter P0,P1, P2,P3.
1.2.4 Calculer le terme dominant de Pnque l’on notera Tn, ainsi que le terme de plus petite
valuation, qui sera noté Sn.
1.2.5 Montrer que l’application P7→ P◦fde C[X] dans C(X) est injective.
On définit Pnpour nnégatif par : Pn=P−n.
1.2.6 Montrer que pour tous entiers met n:
Pm◦Pn=Pmn et : PnPm=Pm+n+Pm−n.
1.2.7 Démontrer que pour tous entiers positifs met n:Pn
m=Pbn
2c
k=0¡n
k¢P(n−2k)m.
1.2.8 Montrer que pour tout polynôme P=Pk≥0bkXk, il existe des coefficients (am)m≥0uniques,
tels que : P=Pm≥0amPm.
1.2.9 Chercher les P∈Cn[X] (n∈N) tels que ¡P(X)¢2−2=P(X2−2).
1.2.10 Étudier la parité de Pn.
2

Pour tout nombre entier nstrictement positif, on considère l’équation algébrique dans C:
(En) : Pn(x)=0.
Question 1.3 1.3.1 nétant un entier positif, résoudre l’équation z2n+1=0dans C.
1.3.2 Résoudre l’équation (En).
1.3.3 Calculer le produit des racines de Pn.
Question 1.4 Pour n∈N, montrer que ∀ϑ∈R, Pn(2 cosϑ)=2 cos(nϑ). En dérivant deux fois cette
identité, déterminer des polynômes An, Bnet Cnde degrés respectifs 2,1et 0tels que AnP00
n+
BnP0
n+CnPn=0. En déduire les coefficients (ak)0≤k≤nde Pn.On pourra déterminer séparément
les an−2pet les an−2p−1.
Étant donné un nombre complexe b, on considère pour tout nentier strictement supérieur à 2
l’équation algébrique dans C:(Fn): Pn(x)=b.
Question 1.5 On suppose que bn’appartient pas à l’intervalle réel [−2,2].
1.5.1 Montrer que (Fn)admet nsolutions distinctes.
On suppose que bappartient à l’intervalle réel [−2,2] et on pose θ=arccos b
2.
1.5.2 Exprimer les solutions de (Fn)en fonction de θ.
1.5.3 Pour quelles valeurs de ble polynôme Pn−badmet-il des racines doubles ?
1.5.4 Décomposer en éléments simples sur C, la fraction rationnelle 1
Pn.
3