Exercices sur les polynômes.

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques
Module S1 A ou B Math
Année 2006-2007
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Exercices sur les polynômes.
Dans la suite K = R ou C.
Exercice 1
Soit P = a0 + a1 X + +a2 X 2 + . . . + an X n ∈ C[X]. On suppose que a0 , . . . , an ∈ Z. Soit x =
b, c des entiers premiers entre eux. Montrer que si x est une racine de P , alors b|a0 et c|an .
En déduire que les polynômes suivant n'ont pas de racine dans Q :
- X 3 − p, avec p ∈ Z premier.
- X5 − X4 + X3 + X2 + X + 1
- 2X 3 − X + 2.
b
c
∈ Q, avec
Exercice 2
Existe-t-il une fonction polynomiale f : R −→ R telle que
- ∀x ∈ R, f (x) = sin(x) ?
- ∀x ∈ N, f (x) = sin(x) ?
- ∀x ∈ [0, 1], f (x) = sin(x) ?
Exercice 3
(Localisation des racines d'un polynôme) Soit P = an X n + . . . + a1 X + a0 ∈ C[X], avec an 6= 0. On pose
an−1
a0
|
h(P ) = max | |, . . . , |
an
an
Montrer que si z ∈ C est une racine de P , alors |z| ≤ 1 + h(P ).
Exercice 4
Eectuer les divisions euclidiennes de
- 3X 5 + 4X 2 + 1 par X 2 + 2X + 3.
- X 4 − X 3 + X − 2 par X 4 − 2X + 4.
Exercice 5
Calculer PGCD(P, Q) pour les polynômes suivant :
- P = X 3 − X 2 − X − 2 et Q = X 5 − 2X 4 + X 2 − X − 2.
- P = X 4 + X 3 − 2X + 1 et Q = X 3 + X + 1.
Exercice 6
Soient P = X 3 + 1 et Q = X 2 + X + 2. Montrer l'existence de U, V ∈ K[X] tels que U P + V Q = 1, puis
trouver un tel couple (U, V ).
Exercice 7
Décomposer dans R[X] le polynôme P = X 4 + 1 en produits de facteurs irréductibles :
- sans utiliser ses racines,
- en utilisant ses racines.
Exercice 8
Décomposer, dans R[X] et dans C[X], les polynômes suivant en produits de facteurs irréductibles :
- X3 − 2
- X5 − 1
1
Exercice 9
Déterminer le PGCD des polynômes suivant
- X 24 − 1 et X 15 − 1.
- X 24 − 1 et X 18 − 1.
- X 12 − 1 et X 2 + X + 1.
Exercice 10
Pour n ∈ N∗ , determiner le PGCD de X n − 1 et (X − 1)n .
Exercice 11
Pour quelles valeurs de a ∈ R le polynôme (X + 1)7 − X 7 − a admet-il une racine multiple réelle ?
Exercice 12
On dit qu'un polynôme P ∈ C[X] est séparable si toutes ses racines sont simples. Montrer que pour tout
P ∈ C[X], il existe un unique polynôme unitaire et séparable P̃ ∈ C[X] ayant les mêmes racines que P
dans C.
Exercice 13
Soit P ∈ K[X] un polynôme non constant. Montrer que P 0 |P si et seulement si il existe a ∈ K ∗ , b ∈ K et
n ∈ N∗ tels que P = a(X − b)n .
2