1ère année IG2I Lens DS d’algèbre. 05 mars 2008 Tous documents autorisés. Calculatrices autorisées. 1 page. C. SUEUR. Exercice 1 Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur le corps commutatif R. On définit une application linéaire h de E sur F. e1 e 2 e3 et f 1 f 2 f 3 sont respectivement les bases de E et F. L’application linéaire h est définie de la manière suivante : h(e1 ) f 2 f 3 , h(e2 ) f1 f 2 , h(e3 ) f1 f 3 1) 2) 3) 4) Donner la matrice A représentant l’application linéaire h Caractériser le noyau et l’image de l’application h (base et dimension) L’application linéaire est-elle injective ? L’application linéaire est-elle surjective ? Les deux espaces vectoriels E et F sont-ils isomorphes (expliquer) On définit un nouveau triplet de vecteurs f1 f 2 f 3 dans F, avec f 1 f 1 , f 2 f 2 f 3 et f 3 f 2 f 3 . 5) Montrer que f 1 f 2 f 3 forme une base de F 6) Donner la matrice de passage P de la base f 1 f 2 f 3 à la base f 1 f 2 f 3 7) Calculer la nouvelle représentation matricielle A de l’application relativement aux bases e1 e2 e3 et f1 f 2 f 3 On définit désormais une application linéaire f de F sur H. linéaire f est définie de la manière suivante : g1 g 2 est une base de H. L’application f ( f1) g1 g 2 , f ( f 2 ) g 2 et f ( f 3 ) g1 g 2 . 8) Donner la matrice B représentant l’application linéaire f 9) Caractériser l’application linéaire notée g entre E et H (expression matricielle) Exercice 2 Montrer que si deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont isomorphes, alors dimE dimF Exercice 3 Pour tout entier naturel m, E m désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à m. On définit une suite de polynômes Pn (x) définis par P0 ( x) 1 , P1 ( x) x , …, Pn ( x) x( x n) n 1 pour n 1 n! 1) Montrer que P0 , P1 ,..., Pm forme une base de E m 2) Montrer que pour n 1 , Pn ( x) Pn1 ( x 1) et en déduire que pour n 1 Pn (1) 0 3) Démontrer que pour tout entier naturel k n , on a Pn( k ) (k ) 0 ( Pn(k ) ( x) désigne la dérivée d’ordre k de Pn (x) et par convention Pn(0) ( x) Pn ( x) 4) En déduire que pour tout polynôme P de E m , les coordonnées de ce polynôme dans la base P0 , P1 ,..., Pm sont les nombres P (k ) (k ) , k variant de 0 à m.