1 - IG2I

1ère année IG2I Lens
DS d’algèbre. 05 mars 2008
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C. SUEUR.
Exercice 1
Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur le corps commutatif R. On définit une application
linéaire h de E sur F.
321 eee
et
321 fff
sont respectivement les bases de E et F. L’application linéaire
h est définie de la manière suivante :
321)( ffeh 
,
212 )( ffeh 
,
313)( ffeh 
1) Donner la matrice A représentant l’application linéaire h
2) Caractériser le noyau et l’image de l’application h (base et dimension)
3) L’application linéaire est-elle injective ? L’application linéaire est-elle surjective ?
4) Les deux espaces vectoriels E et F sont-ils isomorphes (expliquer)
On définit un nouveau triplet de vecteurs
321 fff 
dans F, avec
11 ff 
,
322 fff 
et
323 fff 
.
5) Montrer que
321 fff 
forme une base de F
6) Donner la matrice de passage P de la base
321 fff
à la base
321 fff 
7) Calculer la nouvelle représentation matricielle
A
de l’application relativement aux bases
321 eee
et
321 fff 
On définit désormais une application linéaire f de F sur H.
21 gg
est une base de H. L’application
linéaire f est définie de la manière suivante :
211)( ggff 
,
22 )( gff 
et
213)( ggff 
.
8) Donner la matrice B représentant l’application linéaire f
9) Caractériser l’application linéaire notée g entre E et H (expression matricielle)
Exercice 2
Montrer que si deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont isomorphes, alors
FE dimdim 
Exercice 3
Pour tout entier naturel m,
m
E
désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de
degré inférieur ou égal à m. On définit une suite de polynômes
)(xPn
définis par
1)(
0xP
,
xxP )(
1
, …,
!)(
)( 1
nnxx
xP n
n
pour
1n
1) Montrer que
m
PPP ,..., , 10
forme une base de
m
E
2) Montrer que pour
1n
,
)1()( 1
xPxP nn
et en déduire que pour
1n
0)1( 
n
P
3) Démontrer que pour tout entier naturel
nk 
, on a
0)(
)( kP k
n
(
)(
)( xP k
n
désigne la dérivée
d’ordre k de
)(xPn
et par convention
)()(
)0( xPxP nn 
4) En déduire que pour tout polynôme P de
m
E
, les coordonnées de ce polynôme dans la base
m
PPP ,..., , 10
sont les nombres
)(
)( kP k
, k variant de 0 à m.