ECE 1 TD 14 : Les polynômes Exercice 1. On considère le polynôme P défini par P (x) = 3x3 − x − 2. 1. Montrer que 1 est une racine de P et déterminer le polynôme Q tel que pour tout x ∈ R, P (x) = (x − 1)Q(x). 2. Étudier le signe de P . Exercice 2. Soit P le polynôme défini, pour tout réel x, par P (x) = x3 + 4x2 + x − 6. 1. Trouver une racine évidente de P . 2. Résoudre alors l’équation P (x) = 0. 3. Résoudre l’équation x6 + 4x4 + x2 − 6 = 0. Exercice 3. Résoudre les équations et inéquations suivantes : 1. (2x − 1)2 = (6x + 5)2 x3 − 5x + 4 2. =0 x2 − 4 3. (x + 5)(2x − 1) 6 (3x − 7)(2x − 1) x+5 x−4 4. < x−2 x+3 Exercice 4. Pour tout n ∈ N, on pose An = (X −2)n −(X +5)n . Déterminer les degrés et les coefficients dominants de A0 , A1 , A2 , A3 et An pour n ≥ 2. Exercice 5. 1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout entier k supérieur à 2, 1 a b = + k(k − 1) k−1 k 2. En déduire pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, une expression plus simple de n X k=2 1 · k(k − 1) Exercice 6. Déterminer l’ensemble des polynômes de degré 3 tels que P (1) = 4, P (2) = 0 et P 0 (1) = 2. Exercice 7. Soit P le polynôme défini par P (x) = x3 − 2x2 − 5x + 6. 1. (a) Montrer qu’il existe un polynôme Q de degré 2 tel que pour tout réel x, P (x) = (x + 2)Q(x). (b) Déterminer Q. (c) En déduire toutes les racines de P . 2. Résoudre l’équation ln(x)3 − 2 ln(x)2 − 5 ln(x) + 6 = 0. 3. Résoudre l’inéquation −e2x + 2ex − 6e−x + 5 < 0. Exercice 8. Effectuer la division euclidienne de A par B dans les cas suivants : pour tout x ∈ R, 1. A(x) = x4 + 2x3 + 2x2 + 4x + 1 et B(x) = x2 + x + 1. 2. A(x) = 3x5 + 4x2 + 1 et B(x) = x2 + 2x + 3. Exercice 9. Soient n ∈ N et Pn le polynôme défini par Pn (X) = X n . 1. Donner les racines de X 2 − 3X + 2. 2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn par X 2 − 3X + 2. Exercice 10. On cherche dans cet exercice à déterminer les polynômes P tels que P (X 2 ) = (X 2 + 1)P (X). 1. Quel est le degré d’un polynôme solution ? 2. Résoudre le problème posé. Lycée Jean Calvin, Noyon 2016/2017 Les polynômes 1/1