Les polynômes - Page personnelle de Maxime Bailleul

ECE 1
TD 14 : Les polynômes
Exercice 1. On considère le polynôme Pdéfini par P(x)=3x3−x−2.
1. Montrer que 1 est une racine de Pet déterminer le polynôme Qtel que pour tout x∈R,P(x)=(x−1)Q(x).
2. Étudier le signe de P.
Exercice 2. Soit Ple polynôme défini, pour tout réel x, par P(x) = x3+ 4x2+x−6.
1. Trouver une racine évidente de P.
2. Résoudre alors l’équation P(x)=0.
3. Résoudre l’équation x6+ 4x4+x2−6=0.
Exercice 3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1. (2x−1)2= (6x+ 5)2
2. x3−5x+ 4
x2−4= 0
3. (x+ 5)(2x−1) 6(3x−7)(2x−1)
4. x+ 5
x−2<x−4 x+ 3
Exercice 4. Pour tout n∈N, on pose An= (X−2)n−(X+5)n. Déterminer les degrés et les coefficients dominants
de A0, A1, A2, A3et Anpour n≥2.
Exercice 5.
1. Déterminer deux réels aet btels que pour tout entier ksupérieur à 2,
1
k(k−1) =a k−1+b k
2. En déduire pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2, une expression plus simple de
n
X
k=2
1
k(k−1)·
Exercice 6. Déterminer l’ensemble des polynômes de degré 3tels que P(1) = 4,P(2) = 0 et P0(1) = 2.
Exercice 7. Soit Ple polynôme défini par P(x) = x3−2x2−5x+ 6.
1. (a) Montrer qu’il existe un polynôme Qde degré 2tel que pour tout réel x,P(x)=(x+ 2)Q(x).
(b) Déterminer Q.
(c) En déduire toutes les racines de P.
2. Résoudre l’équation ln(x)3−2 ln(x)2−5 ln(x) + 6 = 0.
3. Résoudre l’inéquation −e2x+ 2ex−6e−x+ 5 <0.
Exercice 8. Effectuer la division euclidienne de Apar Bdans les cas suivants : pour tout x∈R,
1. A(x) = x4+ 2x3+ 2x2+ 4x+ 1 et B(x) = x2+x+ 1.
2. A(x) = 3x5+ 4x2+ 1 et B(x) = x2+ 2x+ 3.
Exercice 9. Soient n∈Net Pnle polynôme défini par Pn(X) = Xn.
1. Donner les racines de X2−3X+ 2.
2. Déterminer le reste de la division euclidienne de Pnpar X2−3X+ 2.
Exercice 10. On cherche dans cet exercice à déterminer les polynômes Ptels que P(X2)=(X2+ 1)P(X).
1. Quel est le degré d’un polynôme solution ?
2. Résoudre le problème posé.
Lycée Jean Calvin, Noyon 2016/2017 Les polynômes 1/1