Exercices d`Algèbre 3 Bernd Ammann, 2006–2007 Feuille 11 23

Exercices d’Algèbre 3
Bernd Ammann, 2006–2007
Feuille 11 23 novembre 2006
1Déterminer les polynômes P∈R[X]tels que P0divise P.
2Étudier la divisibilité de aX4+bX3+ 1 par (X−1)2suivant les valeurs de aet bdans R.
3Discuter suivant les valeurs de l’entier n≥2l’ordre de multiplicité de 1comme racine du
polynôme Pn=X2n−nXn+1 +nXn−1−1.
4Trouver le polynôme unitaire P∈R[X]de degré minimal admettant 1comme racine double,
2et 1 + icomme racines simples.
5Soit Pn=1
n!Xn+1 (n−1)!Xn−1+· · · +X+ 1.Pnadmet-il des racines multiples dans C?
6Soit P∈R[X]; montrer que si X−1divise P(Xn), alors Xn−1divise P(Xn).
7Quelle(s) relation(s) doivent vérifier les nombres complexes pet qpour que le polynôme
X3+pX +qait une racine au moins double dans C?
8On considère les polynômes P(X) = X5+X−¯
2et Q(X) = X3−¯ 2X+¯ 1dans Z/3Z[X]
et f(x) = e P(x), g(x) = e Q(x)les fonctions polynomiales associées dans Z/3Z. Comparer f
et g.
9Trouver tous les polynômes Pde R[X]vérifiant : P(−1) = 4 ;P(1) = 2 ;P(3) = 64.
10 Soit P=X4−12X3+ 4X2−11X+ 23 et α1, α2, α3, α4ses racines complexes. Calculer
4
X
i=1
α2
iet
4
X
i=1
α3
i.
11 Soit P=X3+ 2X+ 5 et α, β, γ ses racines complexes. Calculer α2β+α2γ+β2α+β2γ+
γ2α+γ2β.
12 Soit P= 2X3−X2−8X+λoù λ∈R.
(a) Trouver λpour que Padmette deux racines complexes opposées l’une de l’autre.
(b) Trouver λpour que Padmette deux racines complexes inverses l’une de l’autre.

13 Soient m, n ∈N∗et m=qn +rla division euclidienne de mpar n.
(a) Montrer que le reste de la division euclidienne de Xm−1par Xn−1est Xr−1.
(b) Soit d=pgcd(m, n). Montrer que le pgcd de Xm−1et Xn−1est Xd−1.
14 On considère la suite (Pn)n∈N∗de polynômes de R[X]définie par :
P1= 1 ; P2=Xet ∀n≥3, Pn=XPn−1−Pn−2.
(a) Montrer que ∀n∈N∗, P2n(0) = 0 et P2n+1(0) = (−1)n.
(b) Montrer que ∀n≥2, P 2
n−Pn−1Pn+1 = 1.
(c) Montrer que ∀n∈N∗,Pnet Pn+1 sont premiers entre eux. Vérifier ce résultat sur P3et
P4par l’algorithme d’Euclide.
15
(a) Soit P∈Z[X]de degré ns’écrivant : P=anXn+an−1Xn−1+· · · +a1X+a0. Montrer
que si Padmet une racine rationnelle r=p
qoù pet qsont des entiers non nuls premiers
entre eux, alors q|anet p|a0.
(b) Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R[X]et C[X]les polynômes suiv-
ants : 2X4−3X3−2X+ 3.
16Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R[X]le polynôme X2n−2 cos αXn+1
suivant les valeurs de α∈R− {kπ
n|k∈Z}.
Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans R[X]le polynôme X8+X7+X6+
X5+X4+X3+X2+X+ 1.
17
(a) Montrer que le polynôme P=1
2i[(X+i)n−(X−i)n]de C[X]est en fait à coefficients
réels.
(b) Calculer les racines de Pdans C.
(c) Décomposer Pen produit de facteurs irréductibles dans R[X].
http://www.iecn.u-nancy.fr/∼ammann/alg3