Asymptotes : Tangente : Position relative de deux courbes

FICHE METHODE
Asymptotes :
• Quand lim ( )
xa
fx
→
=∞ alors la droite d’équation
x
a
=
est asymptote à Cf.
• Quand lim ( )
x
f
xb
→∞
= alors la droite d’équation yb
=
est asymptote à Cf.
• Quand lim ( ) ( ) 0
xfx ax b →∞
−+=
alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à Cf.
Dérivabilité : Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point a de son ensemble de
définition, on étudie la limite de ()()
f
ah fa
h
+− quand h tend vers 0. Si cette limite est un nombre
réel, la fonction est dérivable en a, dans le cas contraire elle n’est pas dérivable en a.
Si la limite est infinie, la courbe de f admet une tangente verticale au point d’abscisse a.
Tangente :
Si
f
est dérivable en a alors la courbe de
f
admet une tangente au point d’abscisse a d’équation :
'( )( ) ( ).yfaxa fa=−+
( '( )
f
a est le coefficient directeur de la tangente).
Remarque : deux droites non parallèles à l’axe (oy) sont parallèles lorsqu’elles ont même coefficient
directeur.
Position relative de deux courbes :
Pour étudier la position relative des courbes de
f
et de
g
, on étudie le signe de () ().
f
xgx−
Quand () ()
f
xgx− est positif, alors la courbe de
f
est au-dessus de la courbe de
g
.
Quand () ()
f
xgx− est négatif, alors la courbe de
f
est sous de la courbe de
g
.
VARIATIONS D'UNE FONCTION:
On étudie le signe de la dérivée sur l'ensemble de définition en résolvant une inéquation.
EXTREMUM:
Si f ' s'annule en changeant de signe en a alors f admet un extremum en a qui est f(a).
x -∞ a +∞
f(x)
Minimum en a
x -
∞
a +∞
f(x)
Maximum en a