Un peu de tout 1

AIDE Terminale S : Fonction exponentielle
Exercice n°1
Simplifier chacune des expressions :
2x
e e
–x
;
2
x 2
(e ) e
1– x
e ×e
2x
;
2x
–x
e –e
x
e
;
x
Exercice n°2
Etablir, pour x ∈ Y, les égalités suivantes :
x
1–e
– 2x
–x
a.
= e
–e
;
b.
2x
e
2x
– 2x
e –1
1–e
=
2x
– 2x
e +1
1+e
.
Exercice n°3
x
Vérifier que la fonction f définie sur Y par f (x) = ( e + e
–x 2
x
–x 2
) –(e –e
)
est constante.
Exercice n°4
Résoudre dans Y les équations et inéquations suivantes :
1
2x – 1
3
4x – 1
e
=e
;
e
=
;
e
2x + 1
2
e
x + 2x – 3
e
=1
;
;
x–3 = e
e
2x
x
e + 3e – 4 = 0 .
x
–x
–x +5
>e
e –e
e
x
– x
=0
;
e +e
x
;
(e –1)(e
x
=0
2x
;
+1)<0
Exercice n°5
Justifier, dans chaque cas, que la fonction f est dérivable sur I et déterminer la dérivée f ’ de f sur I.
x
3
a. f (x) = e + 2x – e
c. f (x) =
x
x
e –1
x
I= Y
b. f (x) = 2x e
I=]0;+∞[
d. f (x) = e
2x + 1
I= Y
–4e
x
2
I= Y
er
1 QCM : Pour chaque question, une seule des 3 réponses est correcte. Dire laquelle sans justifier.
Question
L’ensemble des solutions de
x
l’équation e = 0 est …
La courbe représentative de
la fonction exponentielle a
une …
–x
La limite de e lorsque x
tend vers + ∞ est égale à …
f est une fonction définie
Réponse A
Réponse B
Réponse C
0
1
∅
tangente horizontale
asymptote verticale
asymptote horizontale
–∞
0
+∞
–x
sur Y par f (x) = e .
Sa fonction dérivée est
f ’ (x) = – e
–x
f ’ (x) = e
–x
f ’ (x) =
1
e
–x
définie sur Y par …
ème
2
QCM : Pour chaque question, indiquer la ( ou les ) bonne(s) réponse(s).
Question
–x
e –1
1 – –x
est égal à …
e +1
L’ensemble des solutions de
2x
l’équation e + 1 = 0 est ...
L’ensemble des solutions de
x
l’inéquation (e – 1) (1 – x) > 0 est .
Réponse A
2
–x
e +1
1
–
2
Réponse B
0
∅
Réponse D
x
2e
x
e +1
1
2
]–∞;1]
[0;1]
[0;+∞[
]–1; 0] ∪ [1 ;+∞
∞[
0
Réponse C
–x
2e
–x
e +1
f est la fonction définie sur Y par
2x
f (x) = x e – 1 . Pour tout réel x,
f ’ (x) est égal à …
e 2x
g est la fonction définie sur Y par
x
2
g (x) = e ( x – 1 ) + x . Alors …
g est positive sur
]0;+∞[
g est négative
sur ] 0 ; 1 [
g est strictement
croissante sur
]0;+∞[
g admet un
minimum en 0
exp (3x)
exp ( – 3x )
– 3 exp ( – 3x )
– 3 exp ( x )
f est une fonction dérivable sur Y
telle que f ’ + 3f = 0 et f (0) = 1.
Alors, pour tout réel x, f (x) est égal
à…
2e
2x
(x+2)e
2x
( 1 + 2x) e
2x
;
CORRECTION AIDE Terminale S : Fonction exponentielle
x
e2x + 3ex – 4 = 0
Exercice n°1
• e2x e – x = e(2x – x) = ex
• (e ) e
x 2
1–x
2
2
2
(2x + 1 – x )
=e
x
x
e2x × e – x = e × e × e – x = ex × e – x = e ( x – x ) = e0 = 1
e2x – ex ex ( ex – 1)
•
=
= ex – 1
ex
ex
•
Exercice n°2
e2x (e –2x – e – x)
1 – ex
a. 2x =
= e – 2x – e – x
e
e2x
e2x – 1 e2x ( 1 – e – 2x ) 1 – e – 2x
=
=
b. 2x
e + 1 e2x ( 1 + e – 2x ) 1 + e – 2x
Exercice n°3
f(x) = ( ex + e – x )2 – ( ex – e – x )2
Pour montrer que f est constante, on va développé l’expression de
f(x). Pour développer plus rapidement, on peut remarquer que f(x) est
de la forme « a2 – b2 »
On a donc :
f(x) = (ex + e – x + ex – e – x ) (ex + e – x – (ex – e – x ))
f(x) = ( 2 ex ) (ex + e – x – ex + e – x)
f(x) = 2 ex × 2 e – x = 4 e (x – x) = 4 e0 = 4 × 1 = 4
Exercice n°4
e 2x – 1 = e 3
e 4x – 1 =
1
e
⇔
⇔
ex+e–x=0
⇔
⇔
2
ex
{eX =+ X3X – 4 = 0
2
On résout X + 3X – 4 = 0
∆ = 9 + 4×4 = 25
–3+5
–3–5
X1 =
=1
X2 =
=–8
2
2
X1 = ex
X2 = ex
impossible car ex > 0 pour tout x
ex = 1 = e0
x=0
Exercice n°5
a. f (x) = ex + 2x – e3
I= Y
f est la somme de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur
Y.
f’(x) = ex + 2
b. f (x) = 2x ex
I= Y
f est le produit de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur
Y.
Rappel : Si f = uv avec u et v dérivables alors f’ = u’v + uv’
f’(x) = 2ex + 2xex = 2ex (1 + x)
c. f (x) =
2x – 1 = 3
2x = 4
x=2
S={2}
x
ex – 1
I=]0;+∞[
f définie et dérivable si ex – 1 ≠ 0 donc si x ≠ 0.
f est donc définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
e 4x – 1 = e – 1
4x – 1 = – 1
4x = 0
x=0
S={0}
e x – e –x = 0
⇔
ex = e – x
x=–x
x=0
S={0}
Rappel : Si f = u/v avec u et v dérivables et v(x) ≠ 0
u’v – uv’
alors f’ =
v2
u(x) = x
v(x) = ex – 1
f’(x) =
S=∅
impossible car ex > 0 pour tout x
u’(x) = 1
v’(x) = ex
x
x
(ex – 1) – xex e – 1 – xe
=
x
2
x
2
(e – 1)
(e – 1)
x
I= Y
d. f (x) = e 2x + 1 – 4 e 2
f est la somme de deux fonctions composées définies et dérivables
sur Y.
2
+ 2x – 3
=1
e 2x + 1
=e
e x–3
⇔
⇔
e x + 2x – 3 = e0
x2 + 2x – 3 = 0
∆ = 4 + 4 × 3 = 16
–2+4
–2–4
x1 =
=1
x2 =
=–3
2
2
S={–3;1}
e (2x + 1 – x + 3) = e1
x+4=1
x=–3
S={–3}
e –x +5 > e x
⇔
–x+5>x
– 2x > – 5
5
x<
2
S=]–∞;
5
[
2
( ex – 1 ) ( e 2x + 1 ) < 0 ⇔ ex – 1 < 0 car e 2x + 1 > 0 pour tout x
ex < 1
ex < e0
x<0
S=]–∞;0[
f’(x) = 2 × e 2x + 1 – 4 ×
x
x
1
× e 2 = 2 ( e 2x + 1 – e 2 )
2
er
1 QCM
C–C–B–A
ème
QCM
2
A et D – C – B – D – C et D – B