Un peu de tout 1

AIDE Terminale S : Fonction exponentielle
Exercice n°1
Simplifier chacune des expressions :
e
2x
e
– x
; (e
x
)
2
e
1 – x
2
; e
2x
× e
– x
; e
2x
– e
x
e
x
Exercice n°2
Etablir, pour x ∈ Y, les égalités suivantes :
a. 1 – e
x
e
2x
= e
– 2x
– e
– x
; b. e
2x
– 1
e
2x
+ 1 = 1 – e
– 2x
1 + e
– 2x
.
Exercice n°3
Vérifier que la fonction f définie sur Y par f (x) = ( e
x
+ e
– x
)
2
– ( e
x
– e
– x
)
2
est constante.
Exercice n°4
Résoudre dans Y les équations et inéquations suivantes :
e
2x – 1
= e
3
; e
4x – 1
= 1
e ; e
x
– e
– x
= 0 ; e
x
+ e
– x
= 0 ;
e
x
2
+ 2x – 3
= 1 ; e
2x + 1
e
x – 3
= e ; e
– x + 5
> e
x
; ( e
x
– 1 ) ( e
2x
+ 1 ) < 0 ;
e
2x
+ 3e
x
– 4 = 0 .
Exercice n°5
Justifier, dans chaque cas, que la fonction f est dérivable sur I et déterminer la dérivée f ’ de f sur I.
a. f (x) = e
x
+ 2x – e
3
I = Y b. f (x) = 2x e
x
I = Y
c. f (x) = x
e
x
– 1 I = ] 0 ; + ∞ [ d. f (x) = e
2x + 1
– 4 e
x
2
I = Y
1
er
QCM : Pour chaque question, une seule des 3 réponses est correcte. Dire laquelle sans justifier.
Question Réponse A Réponse B Réponse C
L’ensemble des solutions de
l’équation e
x
= 0 est … 0 1 ∅
∅∅
∅
La courbe représentative de
la fonction exponentielle a
une … tangente horizontale asymptote verticale asymptote horizontale
La limite de e
–x
lorsque x
tend vers + ∞ est égale à … – ∞
∞∞
∞ 0 + ∞
∞∞
∞
f est une fonction définie
sur Y par f (x) = e
– x
.
Sa fonction dérivée est
définie sur Y par …
f ’ (x) = – e
– x
f ’ (x) = e
– x
f ’ (x) = 1
e
– x
2
ème
QCM : Pour chaque question, indiquer la ( ou les ) bonne(s) réponse(s).
Question Réponse A Réponse B Réponse C Réponse D
1 – e
– x
– 1
e
– x
+ 1 est égal à … 2
e
– x
+ 1 0 2 e
– x
e
– x
+ 1 2 e
x
e
x
+ 1
L’ensemble des solutions de
l’équation e
2x
+ 1 = 0 est ... – 1 2 0 ∅
∅∅
∅ 1
2
L’ensemble des solutions de
l’inéquation (e
x
– 1) (1 – x) > 0 est . ] – ∞
∞∞
∞ ; 1 ] [ 0 ; 1 ] [ 0 ; + ∞
∞∞
∞ [ ]–1; 0] ∪
∪∪
∪ [1 ;+∞
∞∞
∞ [
f est la fonction définie sur Y par
f (x) = x e
2x
– 1 . Pour tout réel x,
f ’ (x) est égal à …
e
2x
2 e
2x
( x + 2 ) e
2x
( 1 + 2x) e
2x
g est la fonction définie sur Y par
g (x) = e
x
( x – 1 ) + x
2
. Alors … g est positive sur
] 0 ; + ∞
∞∞
∞ [ g est négative sur ] 0 ; 1 [
g est strictement
croissante sur
] 0 ; + ∞
∞∞
∞ [
g admet un
minimum en 0
f est une fonction dérivable sur Y
telle que f ’ + 3f = 0 et f (0) = 1.
Alors, pour tout réel x, f (x) est égal
à …
exp (3x) exp ( – 3x ) – 3 exp ( – 3x ) – 3 exp ( x )

CORRECTION AIDE Terminale S : Fonction exponentielle
Exercice n°1
• e
2x
e
– x
= e
(2x – x)
= e
x
• (e
x
)
2
e
1 – x
2
= e
(2x + 1 – x
2
)
• e
2x
× e
– x
= e
x
× e
x
× e
– x
= e
x
× e
– x
= e
( x – x )
= e
0
= 1
• e
2x
– e
x
e
x
= e
x
( e
x
– 1)
e
x
= e
x
– 1
Exercice n°2
a. 1 – e
x
e
2x
= e
2x
(e
–2x
– e
– x
)
e
2x
= e
– 2x
– e
– x
b. e
2x
– 1
e
2x
+ 1 = e
2x
( 1 – e
– 2x
)
e
2x
( 1 + e
– 2x
) = 1 – e
– 2x
1 + e
– 2x
Exercice n°3
f(x) = ( e
x
+ e
– x
)
2
– ( e
x
– e
– x
)
2
Pour montrer que f est constante, on va développé l’expression de
f(x). Pour développer plus rapidement, on peut remarquer que f(x) est
de la forme « a
2
– b
2
»
On a donc :
f(x) = (e
x
+ e
– x
+ e
x
– e
– x
) (e
x
+ e
– x
– (e
x
– e
– x
))
f(x) = ( 2 e
x
) (e
x
+ e
– x
– e
x
+ e
– x
)
f(x) = 2 e
x
× 2 e
– x
= 4 e
(x – x)
= 4 e
0
= 4 × 1 = 4
Exercice n°4
e
2x – 1
= e
3
⇔ 2x – 1 = 3
2x = 4
x = 2
S = { 2 }
e
4x – 1
= 1
e ⇔ e
4x – 1
= e
– 1
4x – 1 = – 1
4x = 0
x = 0
S = { 0 }
e
x
– e
– x
= 0 ⇔ e
x
= e
– x
x = – x
x = 0
S = { 0 }
e
x
+ e
– x
= 0 ⇔ S = ∅
impossible car e
x
> 0 pour tout x
e
x2 + 2x – 3
= 1 ⇔ e
x2 + 2x – 3
= e
0
x
2
+ 2x – 3 = 0
∆ = 4 + 4 × 3 = 16
x
1
= – 2 + 4
2 = 1 x
2
= – 2 – 4
2 = – 3
S = { – 3 ; 1 }
e
2x + 1
e
x – 3
= e ⇔ e
(2x + 1 – x + 3)
= e
1
x + 4 = 1
x = – 3
S = { – 3 }
e
– x + 5
> e
x
⇔ – x + 5 > x
– 2x > – 5
x < 5
2
S = ] – ∞ ; 5
2 [
( e
x
– 1 ) ( e
2x
+ 1 ) < 0 ⇔ e
x
– 1 < 0 car e
2x
+ 1 > 0 pour tout x
e
x
< 1
e
x
< e
0
x < 0
S = ] – ∞ ; 0 [
e
2x
+ 3e
x
– 4 = 0 ⇔ {e
x
= X
X
2
+ 3X – 4 = 0
On résout X
2
+ 3X – 4 = 0
∆ = 9 + 4×4 = 25
X
1
= – 3 + 5
2 = 1 X
2
= – 3 – 5
2 = – 8
X
1
= e
x
X
2
= e
x
impossible car e
x
> 0 pour tout x
e
x
= 1 = e
0
x = 0
Exercice n°5
a. f (x) = e
x
+ 2x – e
3
I = Y
f est la somme de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur
Y.
f’(x) = e
x
+ 2
b. f (x) = 2x e
x
I = Y
f est le produit de fonctions dérivables sur Y donc f est dérivable sur
Y.
Rappel : Si f = uv avec u et v dérivables alors f’ = u’v + uv’
f’(x) = 2e
x
+ 2xe
x
= 2e
x
(1 + x)
c. f (x) = x
e
x
– 1 I = ] 0 ; + ∞
∞∞
∞ [
f définie et dérivable si e
x
– 1 ≠ 0 donc si x ≠ 0.
f est donc définie et dérivable sur ] 0 ; + ∞ [.
Rappel : Si f = u/v avec u et v dérivables et v(x) ≠ 0
alors f’ = u’v – uv’
v
2
u(x) = x u’(x) = 1
v(x) = e
x
– 1 v’(x) = e
x
f’(x) = (e
x
– 1) – xe
x
(e
x
– 1)
2
= e
x
– 1 – xe
x
(e
x
– 1)
2
d. f (x) = e
2x + 1
– 4 e x
2 I = Y
YY
Y
f est la somme de deux fonctions composées définies et dérivables
sur Y.
f’(x) = 2 × e
2x + 1
– 4 × 1
2 × e x
2 = 2 ( e
2x + 1
– e x
2 )
1
er
QCM
C – C – B – A
2
ème
QCM
A et D – C – B – D – C et D – B