Relier fréquence conditionnelle et probabilité conditionnelle

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Relier fréquence conditionnelle et probabilité conditionnelle
Pièces défectueuses
Deux machines A et B fabriquent une pièce identique et fonctionnent indépendamment.
Dans la production journalière totale de ces machines, on prend une pièce au hasard.
On note A (resp. B) l’événement « la pièce tirée provient de A (resp. de B) ». On donne P(A) = 0,6 et P(B)
= 0,4.
On suppose que, parmi la production de A, la probabilité de tirer une pièce défectueuse est q, alors que
parmi la production de B, la probabilité de tirer une pièce défectueuse est r.
On note D l'événement « la pièce tirée est défectueuse » et
D
l'événement contraire.
La situation est donc résumée par l’arbre ci-contre.
On se pose la question suivante :
« Lorsque l’on tire au hasard une pièce dans la
production totale, et que l'on constate que la pièce est
défectueuse, cette information donne-t-elle une idée
sur sa fabrication éventuelle par A ? »
1. Etude du cas q = 0,1 et r = 0,03
On suppose ici que la probabilité que A fabrique une
pièce défectueuse est 10 % et que la probabilité que B
fabrique une pièce défectueuse est 3 %.
Observation des fréquences
Vous allez simuler sur le tableur une production de
10000 pièces selon les conditions précédentes.
En adoptant, sur une feuille de calcul, la présentation
montrée ci-contre, entrer la valeur de q en B1, soit 0,1 et
la valeur de r en B2, c’est-à-dire 0,03.
Entrer en A5 la formule suivante, simulant si la pièce
tirée a été fabriquée par A ou par B :
SI(ENT(ALEA()+0,6)=1;"A";"B") .
Entrer en B5 la formule suivante, simulant si la pièce
tirée présente un défaut (affichage du nombre 1) ou pas
(affichage du nombre 0) :
=SI(A5="A";ENT(ALEA()+B$1);ENT(ALEA()+B$2)) .
Entrer en C5 la formule =CONCATENER(A5;B5) (cette formule permet d’écrire bout à bout les
résultats des deux cellules des colonnes précédentes).
Sélectionner les trois cellules A5, B5 et C5 puis recopier vers le bas jusqu’à la ligne 10004.
On peut faire le compte des effectifs des quatre résultats possibles (A1, A0, B1 et B0) dans un tableau.
Préparer ce tableau comme sur l’image suivante dans les colonnes E, F, G, H, à partir de la ligne 1.
En F2 entrer la formule
=NB.SI(C:C;"A1") puis en F3 la formule
=NB.SI(C:C;"A0") .
En G2 entrer la formule
=NB.SI(C:C;"B1") puis en G3 la formule
=NB.SI(C:C;"B0") .
En raison des fluctuations
d’échantillonnage, il n’y a bien sûr aucune
raison que vos résultats soient ceux montrés ici.
Ils doivent cependant être « analogues ».
On obtient les effectifs marginaux en cliquant sur l’icône  de sommation.
En G6 entrer la formule =F4/H4 et en G7 entrer la formule =F2/H2 .
q
D
A
0,60
1 – q
0,40
r
D
B
1 – r
arbre 1

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a) Justifier que la formule entrée en G6 fournit la fréquence f (A) de l’événement A et que celle entrée en
G7 fournit la fréquence conditionnelle fD (A) de A sachant D.
b) Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 pour visualiser l’ampleur des fluctuations d’échantillonnage
puis donner des valeurs approchées à 10 – 1 près des fréquences f (A) et fD (A) généralement observées.
c) A-t-on statistiquement plus de chances que la pièce ait été fabriquée par A quand on sait qu’elle est
défectueuse ?
Calcul des probabilités
d) Calculer P(D) = P(A  D) + P(B  D) (on peut s’aider de l’arbre 1).
e) « Inverser » l’arbre 1, en calculant à 10 – 2 de la probabilité conditionnelle PD (A) correspondant au
point d'interrogation sur l’arbre ci-dessous.
?
A P(A  D) = 0,06
D
P(D) =0,072
B
arbre 2
A
D
B
f) Comparer la valeur PD (A) calculée précédemment aux fréquences conditionnelles fD (A) observées.
2. Etude du cas q = 0,1 et r = 0,1
On suppose ici que la probabilité pour A comme pour B de fabriquer une pièce défectueuse est 10 %.
Entrer dans la cellule B2 la valeur 0,1.
a) Appuyer plusieurs fois sur la touche F9 puis donner des valeurs approchées à 10 – 1 près des fréquences
f (A) et fD (A) généralement observées.
b) A-t-on statistiquement plus de chances que la pièce ait été fabriquée par A quand on sait qu’elle est
défectueuse ?
c) Reprendre les calculs de probabilité effectués dans la partie 1 pour justifier que dans ce second cas, on
a PD (A) = P(A) (il y a indépendance des événements A et D).

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Corrigé du T.P. 12 p. 165 : Pièces défectueuses
1.
a) On a f (A) =
totaleffectif de effectif A
et fD (A) =
DDA de effectif de effectif 
.
b) On observe que f (A)  0,6 et fD (A)  0,8.
c) Comme 0,8 > 0,6 on a « statistiquement » plus de chances d’avoir A si l’on a observé D.
d) On a P(D) = 0,6  0,1 + 0,4  0,03 = 0,072.
e) On a 0,072  PD (A) = 0,06 d’où PD (A)  0,83.
f) On constate que fD (A)  PD (A).
2.
a) On observe f (A)  fD (A)  0,6.
b) Quand on sait que la pièce est défectueuse, on n’a statistiquement pas plus de chances qu’elle soit issue
de la machine A.
c) On a P(D) = 0,06 + 0,4  0,1 = 0,1 puis PD (A) =
1,006,0
= 0,6. Donc PD (A) = P(A).