Corrigé : Probabilités

Ld
23/04/2015
3MS
Corrigé : Probabilités
Exercice 1
3
Dans une classe, la probabilité qu’un élève soit domicilié à Lausanne est de P(L) = et la probabilité
8
3
5
qu’il soit une fille est de P(F) = . Sachant que P(L ∪ F) = , calculer :
8
4
a) P(L | F)
b) P(L | F)
c) Si la classe compte 24 élèves, combien de garçons lausannois sont inscrits dans cette classe ?
Indication : Il peut être utile de représenter la situation par un diagramme de Venne.
Solution
1 - 3/4 = 1/4
F
L
1
3 5
− =
4 8
8
3
3 3
P(F \ L) = P(L ∪ F) − P(L) = − =
4 8
8
1
3 1
P(L ∩ F) = P(L) − P(L \ F) = − =
8 8
4
P(L \ F) = P(L ∪ F) − P(F) =
1
4
5
8
3/4 - 5/8 = 1/8
a) P(L | F) =
P(L ∩ F)
=
P(F)
b) P(L | F) =
P(L ∪ F)
1 − P(L ∪ F)
P(L ∩ F)
=
=
=
1 − P(F)
P(F)
P(F)
=
3/4 - 3/8 = 3/8
2
5
c) On s’intéresse à l’événement F ∩ L = L \ F
Ainsi, il y a 24 ·
1/4
1
4
3
8
=
2
3
On a déjà calculé que P(L \ F) =
1
= 3 garçons lausannois dans cette classe.
8
1
8
Exercice 2
Trois machines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% des pièces d’une usine. Chacune
de ces machines fabrique repectivement 3%, 4% et 5% de pièces défectueuses. On tire au hasard une pièce
fabriquée par cette usine : elle est défectueuse. Calculer la probabilité que cette pièce ait été produite par
la machine A.
Solution
Soit D l’événement la pièce est défectueuse et D, l’événement la pièce n’est pas défectueuse. La situation
peut être représentée par l’arbre ci-dessous :
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2
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3%
D
97%
D
4%
D
96%
D
5%
D
95%
D
Machine A
50%
fabrique
30%
Machine B
20%
Machine C
P(D) = 50% · 3% + 30% · 4% + 20% · 5% = 3, 7%
P(A ∩ D)
1, 5
P(A ∩ D) = 50% · 3% = 1, 5%
P(A | D) =
=
= 40, 54%
P(D)
3, 7
Exercice 3
Un jeu de cartes incomplet contient encore 9 coeurs, 6 piques et 3 trèfles. On tire une première carte,
puis on la remet dans le paquet. On répète 4 fois l’opération.
Quelle est la probabilité qu’on tire :
a) 4 cartes différentes ?
b) 4 coeurs ?
c) exactement 2 piques ?
d) 2 fois la dame de coeur et 2 autres cartes différentes ?
Pour la suite, on ne remet plus les cartes tirées dans le paquet. Quelle est alors la probabilité que sur les
4 cartes tirées on obtienne
e) 4 coeurs ?
f) 2 coeurs, 1 pique et 1 trèfle ?
Solution
a)
A18
4 ∼
= 69, 96%
184
b)
!
c)
C42
d)
C42 · A17
2 ∼
= 1, 55%
184
e)
C94 ∼
= 4, 12%
C18
4
f)
C92 · C61 · C31 ∼
= 21, 18%
C18
4
9
18
·
"4
!
= 6, 25%
6
18
"2 ! "2
12
8 ∼
·
=
= 29, 63%
18
27
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3
Exercice 4
I. On jette un dé 8 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a) exactement 2 fois le nombre 6 ?
b) exactement 4 nombres pairs ?
c) moins de 3 fois le nombre 6 ?
II. Combien de fois faudrait-il jeter le dé pour avoir une probabilité de plus de 90% d’obtenir au moins
une fois le nombre 6.
Solution I.
a) P(A) = C82 ·
# 1 $2 # 5 $6
· 6 = 28 ·
6
b) P(B) = C84 ·
# 3 $4 # 3 $4
· 6 = 70 ·
6
c) P(C) = C82 ·
# 1 $2 # 5 $6
# $ # $7 # $8
· 6 + C81 · 16 · 56 + 56 ∼
= 26% + 37, 21% + 23, 26% = 86, 47%
6
1
36
·
56
66
∼
= 26%
1
16
·
1
16
∼
= 27, 34%
II. Considérons Sn : Ne jamais obtenir 6 sur n lancers, et P(Sn ) doit rester inférieure à 10% :
! "n
5
−1
1
∼
⇔ n · log(5/6) < log(0, 1) ⇔ n >
<
P(Sn ) =
= 12, 63 ⇒
6
10
log(5/6)
Il faut donc lancer 13 fois le dé pour avoir une probabilité supérieure à 90% d’obtenir au moins une fois
un 6.