Corrigé : Probabilités

Ld 23/04/2015 3MS
Corrigé : Probabilités
Exercice 1
Dans une classe, la probabilité qu’un élève soit domicilié à Lausanne est de P(L) = 3
8et la probabilité
qu’il soit une fille est de P(F) = 5
8.SachantqueP(L ∪F) = 3 4,calculer :
a) P(L |F)
b) P(L|F)
c) Si la classe compte 24 élèves, combien de garçons lausannois sont inscrits dans cette classe ?
Indication :IlpeutêtreutiledereprésenterlasituationparundiagrammedeVenne.
Solution
P(L \F) = P(L ∪F) −P(F) = 3
4−5 8=1 8
P(F \L) = P(L ∪F) −P(L) = 3
4−3 8=3 8
P(L ∩F) = P(L) −P(L \F) = 3
8−1 8=1 4
1/4
3/4 - 5/8 = 1/8 3/4 - 3/8 = 3/8
1-3/4=1/4
L
F
a) P(L |F) = P(L ∩F)
P(F) =
1
4
5
8
=2
5
b) P(L|F) = P(L∩F)
P(F) =P(L∪F) P(F) =1−P(L ∪F)
1−P(F) =
1
4
3
8
=2
3
c) On s’intéresse à l’événement F∩L=L\FOn a déjà calculé que P(L \F) = 1
8
Ainsi, il y a 24 ·1
8=3garçons lausannois dans cette classe.
Exercice 2
Trois machines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% des pièces d’une usine. Chacune
de ces machines fabrique repectivement 3%, 4% et 5% de pièces défectueuses. On tire au hasard une pièce
fabriquée par cette usine : elle est défectueuse. Calculer la probabilité que cette pièce ait été produite par
la machine A.
Solution
Soit D l’événement la pièce est défectueuse et D, l’événement la pièce n’est pas défectueuse. La situation
peut être représentée par l’arbre ci-dessous :

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fabrique
Machine A
D
3%
D
97%
50%
Machine B
D
4%
D
96%
30%
Machine C
D
5%
D
95%
20%
P(D) = 50% ·3% + 30% ·4% + 20% ·5% = 3,7%
P(A ∩D) = 50% ·3% = 1,5% P(A |D) = P(A ∩D)
P(D) =1,5 3,7=40,54%
Exercice 3
Un jeu de cartes incomplet contient encore 9 coeurs, 6 piques et 3 trèfles. On tire une première carte,
puis on la remet dans le paquet. Onrépète4foisl’opération.
Quelle est la probabilité qu’on tire :
a) 4 cartes différentes ?
b) 4 coeurs ?
c) exactement 2 piques ?
d) 2 fois la dame de coeur et 2 autres cartes différentes ?
Pour la suite, on ne remet plus les cartes tirées dans le paquet. Quelle est alors la probabilité que sur les
4cartestiréesonobtienne
e) 4 coeurs ?
f) 2 coeurs, 1 pique et 1 trèfle ?
Solution
a) A18
4
184∼
=69,96%
b) !9
18"4
=6,25%
c) C4
2·!6
18"2
·!12
18"2
=8
27 ∼
=29,63%
d) C4
2·A17 2
184∼
=1,55%
e) C9
4
C18
4
∼
=4,12%
f) C9
2·C6 1·C3 1
C18
4
∼
=21,18%

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Exercice 4
I. On jette un dé 8 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir :
a) exactement 2 fois le nombre 6 ?
b) exactement 4 nombres pairs ?
c) moins de 3 fois le nombre 6 ?
II. Combien de fois faudrait-il jeter le dé pour avoir une probabilité de plus de 90% d’obtenir au moins
une fois le nombre 6.
Solution I.
a) P(A) = C8
2·#1
6$2·#5 6$6=28·1 36 ·56 66∼
=26%
b) P(B) = C8
4·#3
6$4·#3 6$4=70·1 16 ·1 16 ∼
=27,34%
c) P(C) = C8
2·#1
6$2·#5 6$6+C
8
1·#1
6$·#5 6$7+#5 6$8∼
=26% + 37,21% + 23,26% = 86,47%
II. Considérons Sn:Nejamaisobtenir6surnlancers, et P(Sn)doit rester inférieure à 10% :
P(Sn)=!5
6"n
<1
10 ⇔n·log(5/6) <log(0,1) ⇔n> −1 log(5/6) ∼
=12,63 ⇒
Il faut donc lancer 13 fois le dé pour avoir une probabilité supérieure à 90% d’obtenir au moins une fois
un 6.