ex3 jds2

CORRIGÉ DE L'EXERCICE 3
1.
P (A) = 0,8
et
2 % des pièces produites par la machine a sont défectueuses d'où
PA (D) = 0,02
et
7 % des pièces produites la machine b sont défectueuses d'où
P—
(D) = 0,07
A
et
La
machine
a
assure
80
P (A) = 1 − 0,8 = 0,2
—
%
de
la
production
d'où
PA (D) = 1 − 0,02 = 0,98.
—
P—
(D) = 1 − 0,07 = 0,93.
A
—
D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :
D
0,02
A
0,8
0,98
D
D
0,07
0,2
A
0,93
D
P (D ∩ A) = PA (D) × P (A)
2.
Soit P (D ∩ A) = 0,02 × 0,8 = 0,016
La probabilité que la pièce soit défectueuse et qu'elle ait été fabriquée par la machine a est égale à
0,016.
3. Les évènements A et D sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales :
P (D) = P (D ∩ A) + P (D ∩ A)
—
Or
P (D ∩ A) = P—
(D) × P (A)
A
—
—
Soit P (D ∩ A) = 0,07 × 0,2 = 0,014
—
D'où,
P (D ∩ A) + P (D ∩ )
P (D) = P (D ∩ A) + P (D ∩ A)
—
= 0,016 + 0,014
= 0,03
La probabilité qu'une pièce soit défectueuse est égale à 0,03.
4. Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement D est réalisé.
PD (A) =
P (D ∩ A)
P (D)
Soit PD (A) =
0,016
8
=
0,03
15
La probabilité qu'une pièce défectueuse ait été fabriquée par la machine a est
8
.
15
PARTIE B
1.
X suit la loi binomiale de paramètres n
= 150 et p = 0,03.
2. L'évènement « une pièce au moins est défectueuse » est l'évènement contraire de l'évènement « aucune
pièce n'est défectueuse ». D'où
P (X ⩾ 1) = 1 − P (X = 0)
= 1 − 0,97150 ≈ 0,9896
Arrondie au millième près, la probabilité que, dans un prélèvement de 150 pièces, une pièce au moins
soit défectueuse est 0,99.
3.
k
P (X ⩽ k)
k
P (X ⩽ k)
k
P (X ⩽ k)
0
0,010 4
5
0,704 3
10
0,994 2
1
0,058 5
6
0,834 0
11
0,998 0
2
0,169 3
7
0,916 6
12
0,999 4
3
0,338 4
8
0,962 2
13
0,999 8
4
0,530 7
9
0,984 5
14
0,999 9
P (2 ⩽ X ⩽ 8) = P (X ⩽ 8) − P (X < 2)
Soit P (2 ⩽ X ⩽ 8) = P (X ⩽ 8) − P (X ⩽ 1)
= 0,9622 − 0,0585 = 0,9037
Arrondie au millième près, la probabilité que le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 150 soit
compris entre 2 et 8 est 0,904.