p(B) - Free

LES
PROBABILITES
I. GENERALITES ET VOCABULAIRE
L’univers noté Ω est l’ensemble des
résultats possibles
 Un événement est une partie de l’univers
: Résultat obtenu après l’épreuve
 L’événement contraire d’un événement A
est l’ensemble Ā des éléments de Ω
n’appartenant pas à A


La probabilité d’un événement p(X), correspond
aux chances de réalisation de cet événement
Nombre de cas favorables
p(X) =
Nombre de cas possibles (Ω)
Exemple : Lancer de dé Ω= {1;2;3;4;5;6}
On considère l'événement A "Avoir un pair"
A={2;4;6}
p(A) = 3/6=1/2
Ā ={1;3;5} p(Ā)=1-p(A)=1/2

Des événements A et B sont disjoints ou
incompatibles si A∩B=Ø
A

Ω
B
Des événements sont compatibles si A∩B existe
A
B
A∩B
Ω
PROPRIETES
p(Ω)=1
 p(Ā)=1-p(A)
 Probabilité de réunion de 2 événements
Si A et B incompatibles alors
p(AUB)=p(A)+p(B)
Si A et B compatibles
p(AUB)=p(A)+p(B)-p(A∩B)

Exemple : Lancer de dé Ω= {1;2;3;4;5;6}
A "Avoir un pair"
A={2;4;6} p(A)=1/2
B "Avoir un nombre >4"
B{5;6}
p(B)=2/6=1/3
A∩B ={6}
p(A∩B)=1/6
AUB ={2;4;5;6}
p(AUB)= ½ +1/3 -1/6=4/6

Probabilités conditionnelles
Expriment la probabilité de réalisation d’un
événement B sachant que l’événement A est
réalisé
« proba de B sachant A »: p(B/A)=pA(B)
EXEMPLE
Soit A l’événement « le résultat est pair » et B « le résultat
et > 4 »
Réalisation de A={2 ; 4 ; 6}
Réalisation de B une fois A réalisé : B est réalisé dans 1
cas sur 3 (le 6)
Donc P(B/A) = 1/3
Si A et B sont dépendants : La réalisation d’un événement a
une influence sur celle de l’autre
p(A∩B)
P(B/A) = _________
p(A)
Donc
p(A∩B) = p(B/A) p(A)
= p(A/B) p(B)
Vérification : p(A∩B) = 1/6 et p(A)=1/2
1/6
p(B/A) = ____ = 2/6 = 1/3
1/2
Si A et B sont indépendants : Quand la réalisation d’un des 2
événements n’a pas d’influence sur celle de l’autre
p(A∩B) = p(A) x p(B)
p(B/A) =p (B)
Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges. Elles produisent
respectivement 1/3 et 2/3 de la production. M1 sort 5% de tiges
défectueuses et M2 6%.
Soit les événements A : « la tige est fabriquée par M1 » ; B : « la tige
est fabriquée par M2 » ; D « la tige est défectueuse »
1. Proba que la tige soit fabriquée par M1?
P(A)=1/3
2. On tire une tige de la production de M1. Quelle est la proba qu’elle soit
défectueuse?
p(D/A)=5/100
3. On tire une tige de la production. Quelle est la proba pour qu’elle
provienne de M1 et qu’elle soit défectueuse?
p(A∩D)=p(D/A)p(A)=5/100 x 1/3 = 1/60
4. On tire une tige de la production. Quelle est la proba pour qu’elle soit
défectueuse?
p(D)= p((A∩D)U(B∩D))= p(D/A)p(A)+ p(D/B)p(B)=
1/60 + 6/100 x 2/3 = 17/300
5. Quelle est la probabilité qu’une pièce défectueuse ait été fabriquée par
M1?
p(A/D) = p(A∩D)/p(D)= 1/60 / 17/300 =1/60 X 300/17 = 5/17