DS6

Contrôle 6, classe de TS2
La calculatrice est autorisée. Durée:2h
Exercice 1 (7 points)
Une classe de terminale compte 30 élèves: 20 filles et 10 garçons. A chaque cours, le professeur de
mathématiques interroge au hasard un élève. On admet que le choix de l'élève est indépendant des choix
aux cours précédents.
1. Quelle est la probabilité, lors d'un cours donné, que l'élève interrogé soit une fille?
2. Soit n un entier naturel non nul. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de filles
interrogées durant n cours de mathématiques. Quelle est la loi de probabilité suivie par X? Quelle
est la probabilité que, lors de ces n cours, aucune fille ne soit interrogée?
3. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 durant 10 cours successifs?
4. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal au moins à 2 durant 10 cours
successifs?
5. Quel doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour que la probabilité qu'aucune fille ne soit
interrogée soit inférieure à 0,001?
6. Dans un trimestre il y a 36 cours de mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on
espérer?
Exercice 2 (9 points)
PARTIE 1
Restitution organisée de connaissance: en utilisant la dérivée d'un produit de fonctions uv, démontrer la
formule d'intégration par parties. (1 point)
PARTIE 2
Soit f la fonction définie sur ¡ par : f(x)=(x+1)e-x
1)
Etudier la fonction f (variations, limites...) et tracer sa représentation graphique dans un repère
orthonormal. (2 points)
n+ 1
On note (un) la suite définie sur  par
2)
un =
a. Interpréter un géométriquement.(0,5 point)
∫
f ( x )dx
n
b. Calculer u0.(1 point)
3) a. Prouver que: un = − (n + 3)e − ( n + 1) + (n + 2)e − n
(on pourra utiliser une intégration par partie).(1,5 point)
b. La suite (un) est elle convergente (justifier) ? (1 point)
On pose Sn =
4)
5)
n
∑
k= 0
uk .Calculer S en fonction de n (1,5 point)
n
En déduire la limite de Sn (0,5 point).
Exercice 3 (4 points)
A chacune de ces propositions, répondre par VRAI ou FAUX en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera
pas prise en compte.
A) Soit a et b deux réels quelconques (a<b). Si
1
B)
∫
−1
et − 1
b
b
a
a
∫ f x d x = ∫ g  xd x
, alors f(x)=g(x) sur [a;b].
dt > 0
et + 1
C) La fonction F définie dur [0;+∞[ par F ( x ) =
f (x) =
x
2
x x est une primitive sur ]0;+∞[ de la fonction f définie par
3
D) Soit f la fonction définie par f(x)=x² pour tout x réel. La valeur moyenne de f sur [0;2] est égale à
8
3