P (D ∩ F1)

Correction du devoir maison n°9
Exercice 96 p 215
1.a.
b. P(D∩F1) = P(F1)xPF1 (D) = 0,25 x 0,03 = 0,0075.
La probabilité que la pièce soit défectueuse et qu'elle provienne du premier fournisseur est égale à 0,0075.
D = (D∩F1) U (D∩F2). Les événemnents D∩F1 et D∩F2 sont incompatibles donc
P(D) = P(D∩F1) + P(D∩F2) = P(F1)xPF1 (D) + P(F2)xPF2 (D) = 0,0075 + 0,75 x 0,02 = 0,0225.
La probabilité que la pièce soit défectueuse est égale à 0,0225.
c. PD (F1) =
P ( D ∩ F1 )
P
(
D
)
=
0,0075
0,0225
=
1
3
Sachant qu'une pièce est défectueuse, la prababilité qu'elle provienne du premier fournisseur est égale à
1
3
.
2. Comme le responsable prend un échantillon de 20 pièces dans un stock très important, on répète 20 épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est l'événement : « la pièce est défectueuse » de probabilité
0,0225. La variable aléatoire Y qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale B (20 ; 0,0225).
P(Y
⩾
1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – (1 – 0,0225)20 ≈ 0,366.
La probabilité qu' au moins une des pièces soit défectueuse est environ 0,366.
3. La durée de vie d'une pièce de ce stock constitue une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance 10
ans.
a. On a P(X > 15) = 0,025, par symétrie par rapport à la droite d'équation x =10, on a alors P(X < 5) = 0,025 donc
P( 5 < X < 15 ) = 1 – 2 x 0,025 = 0,95
On sait que si X est une variable aléatoire qui suit N( µ;
σ2
) alors P( µ –
2σ
< X < µ +
2σ
) ≈ 0,95.
On a par conséquent
2σ
≈ 5 soit
σ
≈ 2,5.
b. P(X < 8) ≈ 0,212
La probabilté qu'une pièce dure moins de 8 ans est environ 0,212.
P(X > 17) ≈ 0,003
La probabilté qu'une pièce dure plus de 17 ans est environ 0,212.
c. P(X > 8) (X > 16) =
P ( X>16 )
P
(
X>8
)
≈ 0,010.
La probabilité qu'un composant dure plus de 16 ans sachant qu'il a déjà duré plus de 8 ans est proche de 0,01.

Exercice 2 :
Partie A :
Partie B