IUT MP D4 Probabilités et statistiques 2007/2008

U NIVERITÉ PAUL V ERLAINE – M ETZ
D ÉPARTEMENT DE M ATHÉMATIQUES
IUT MP D4
Probabilités et statistiques
Feuille no. 1
2007/2008
Ph. Bonneau
P ROBABILITÉS , DÉFINITIONS DE BASE
Exercice I
On note E l’ensemble des entiers naturels inférieurs ou égaux à 12 et A (respectivement B et C) la partie de E dont les éléments sont
divisibles par 2 (respectivement par 3, par 4).
1. Parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies :
a) A est inclu dans B b) B est inclu dans A c) A est inclu dans C d) C est inclu dans A
e) l’intersection de A et B est vide f) l’intersection de A etCest A g) l’intersection de A et C est C
h) la réunion de A et C est A
i) la réunion de A et C est C
j) la réunion de A et B est A
2. Déterminer :
(a) Le complémentaire Ā de A dans E et le complémentaire B̄ de B dans E,
(b) l’intersection de A et B,
(c) la réunion de A et B,
(d) le complémentaire de l’intersection de A et B dans E,
(e) le complémentaire de la réunion de A et B dans E.
Exercice II
1. Dans un jeu, on vous propose les trois règles suivantes :
(a) on jette en même temps deux dés équilibrés à 6 faces et on gagne si on obtient la face (1) sur au moins l’un des deux dés,
(b) on jette deux fois un même dé équilibré et on gagne si on obtient la face (1) à au moins l’un des deux jets,
(c) on jette en même temps deux dés équilibrés et on gagne si on obtient la face (1) sur chacun des deux dés.
Pour gagner, quelle est la règle la plus avantageuse ? Calculer la probabilité de gagner pour chacune de ces règles.
2. On lance deux fois un même dé équilibré et on note S la somme des points obtenus.
(a) Quelles sont les valeurs possibles de S.
(b) Quelle est la situation la plus probable : obtenir S=6 ou bien obtenir S=7 ?
Exercice III
Une enquète effectuée auprès d’un grand nombre d’étudiants de l’université de Nancago a permis d’estimer que 70% d’entre eux
sont intéressés par l’informatique, 40% sont intéressés par les mathématiques et 25% sont intéressés par les deux à la fois. Quelle est la
probabilité pour qu’un étudiant soit
1. intéressé par l’info mais pas par les maths.
2. intéressé par l’info ou par les maths.
3. intéressé ni par l’info ni par les maths.
Exercice IV
Un composant électronique sert à déclencher une alarme si une condition extraordinaire se présente. Ce composant est fiable à 96% .
On envisage de mettre un certain nombre de ces composants en parallèle pour augmenter la fiabilité du système d’alarme. Combien de
composants doit-on placer en parallèle pour que la fiabilité soit d’au moins 99,99% ?
Exercice V
Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges. Elles produisent respectivement 1/3 et 2/3 de la production. La machine M1 sort 5%
de tiges défectueuses et M2 en sort 6%. Soit les événements A : « la tige est fabriquée par M1 », B : « la tige est fabriquée par M2 » et
D : « la tige est défectueuse ».
1. Quelle est la probabilité que la tige soit fabriquée par M1 ?
2. On tire une tige de la production de M1. Quelles est la probabilité qu’elle soit défectueuse ?
3. On tire une tige de la production. Quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de M1 et qu’elle soit défectueuse ?
4. On tire une tige de la production. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit défectueuse ?
5. Quelle est la probabilité qu’une pièce défectueuse ait été fabriquée par M1 ?
6. Trouver les probabilités de tous les évènements élémentaires.
Exercice VI
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
1. On écrit l’univers des possibilités sous la forme : Ω1 = {(2F); (2P); (1Fet1P)} où F désigne "face" et P désigne "pile". A-t-on
équiprobabilité dans cette situation ?
2. On écrit l’univers des possibilité sous la forme : Ω2 = {(F, F); (P, P); (F, P); (P, F))} où (a, b) signifie que a est le résultat du
premier lancer et que b est le résultat du deuxième. A-t-on équiprobabilité dans cette situation ?
3. On considère les événements suivants :
A="obtenir 2 F", B="obtenir F au 1er lancer", C="obtenir F au 2nd lancer" et D="obtenir P au 2nd lancer"
(a) Ecrire ces événements comme sous-ensembles de Ω2 .
(b) Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont vraies :
- A et C sont incompatibles - A et D sont incompatibles
- C et D sont incompatibles - C est le contraire de D
- B et C sont indépendants
- A et D sont indépendants
4. Calculer les probabilités des événements A, B, C, D.
A est le contraire de D
- A et B sont indépendants
- B et D sont indépendants
5. Calculer les probabilités des événements : (A et D), (B et D), (A ou D), (B ou D).
Exercice VII
Une société fabrique un certain type de voiture dans 3 usines différentes, notées A, B et C. L’usine A produit 1500 voitures dont
25% sont défectueuses, l’usine B produit 3000 voitures dont 15% sont défectueuses et l’usine C produit 4500 voitures dont 10% sont
défectueuses.
En considérant une voiture prise au hasard dans la production totale des 3 usines et en notant par A l’évènement « la voiture vient de
l’usine A », par B l’évènement « la voiture vient de l’usine B », par C l’évènement « la voiture vient de l’usine C » et par D l’évènement
« la voiture est défectueuse »,
1. résumer les données de l’énoncé en terme de probabilités,
2. calculer P(A | B̄), P(D | B̄), P(D) et P(C | D),
3. décrire l’univers Ω de l’expérience considérée et donner les probabilités d’au moins 3 évènements élémentaires.