CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 8 : Ex 96 p 215 1. b. P(D∩ F1) = P(F1) x PF1 (D) = 0,25 x 0,03 = 0,0075. a. La probabilité que la pièce soit défectueuse et qu'elle provienne du premier fournisseur est égale à 0,0075. On a D = (D∩F1) U (D∩F2), les événements (D∩F1) et (D∩F2) sont disjoints donc P(D) = P(D∩F1) + P(D∩F2) = P(F1)xPF1 (D) + P(F2) x PF2 (D) = 0,0075 + 0,75 x 0,02 = 0,0225. La probabilité que la pièce soit défectueuse est égale à 0,0225. c. PD (F 1 ) P(D F1 ) 0,0075 1 P(D) 0,0225 3 Sachant qu'une pièce est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne du premier fournisseur est égale à 1 3 2. Comme le responsable prend un échantillon de 20 pièces dans un stock très important, on répète 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes dont le succès est l'événement : « la pièce est défectueuse » de probabilité 0,0225. La variable aléatoire Y qui donne le nombre de succès suit la loi binomiale B(20 ; 0,0225). P(Y≥ 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – (1 – 0,0225)20 ≈ 0,366. La probabilité qu' au moins une des pièces soit défectueuse est environ 0,366. 3. Soit Z la variable aléatoire définie par Z = X – 10 . σ Comme X suit la loi normale suit N (10 ; σ2), alors Z suit la loi normale centrée réduite. P(X > 15) = 0,025 donc P(X < 15) = 1 - 0,025 = 0,975. On a alors P( 5 X – 10 15 10 < ) = 0,975 soit P(Z< )= 0,975. σ A l’aide de la calculatrice, on peut déterminer le réel t tel que : P( Z t )= 0,975, on obtient : t 1,960 donc 5 1,960 soit 5 2,551 1,96 b. P(X < 8) = 0,5 - P(8<X < 10) ≈ 0,217 La probabilité qu'une pièce dure moins de 8 ans est environ 0,217. P(X > 17) = 0,5 - P(10<X < 17) ≈ 0,003 La probabilité qu'une pièce dure plus de 17 ans est environ 0,003 . c. P(X > 8) (X > 16) = P(X > 16) ≈ 0,012. La probabilité qu'un composant dure plus de 16 ans P(X >8) sachant qu'il a déjà duré plus de 8 ans est proche de 0,012.