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Chapitre II : RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES Dans tout ce chapitre, est un espace vectoriel réel de dimension ( ∈ ℕ∗ ), désigne un endomorphisme de et une matrice de ℳ (ℝ). I – Réduction des endomorphismes 1) Éléments propres d’un endomorphisme a) Définitions Définition 1 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur non nul de tel que () = . L’ensemble des valeurs propres de s’appelle le spectre de et se note Sp(). Définition 2 : Soit une valeur propre de. On appelle vecteur propre de associé à la valeur propre tout vecteur non nul de tel que () = . Définition 3 : Soit une valeur propre de. L’ensemble () de tous les vecteurs de tels que () = est appelé sous-espace propre de associé à la valeur propre . Autrement dit : () = ∈ /() = . Remarque 1 : 1) 0 , le vecteur nul de , appartient à () : ainsi () contient 0 et tous les vecteurs propres de associés à la valeur propre . 2) ∈ () ⇔ () = ⇔ () − = 0 ⇔ ( − )() = 0 ⇔ ∈ Ker( − ) On en déduit que () = Ker( − ). b) Propriétés Propriété 1 : Soit une valeur propre de. L’ensemble () est un sous-espace vectoriel de . Théorème 1 : Le réel est une valeur propre de si et seulement si − est non injectif. En particulier : 0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas injectif. Remarque 2 : 1) L' espace vectorielétant de dimension finie, tout endomorphisme injectif est bijectif, on a alors les équivalences suivantes : (i) Le réel est une valeur propre de si et seulement si − est non bijectif. (ii)0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas bijectif. Conséquence très pratique : Propriété 2 : L’endomorphisme est bijectif si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de . 1 ℝ! ⟶ ℝ! ( (; $) ↦ (− + $; 2) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de . Exemple 1 : Soit l’application Théorème 2 : Si ) , ! , … , , sont des valeurs propres de l’endomorphisme deux à deux distinctes et si ) , ! , … , , sont des vecteurs propres de respectivement associés à ) , ! , … , , , alors la famille -) , ! , … , , . est libre. Propriété 3 (corollaire) : Si ) , ! , … , , sont des valeurs propres de l’endomorphisme deux à deux distinctes et si ℬ) , ℬ! , … , ℬ, sont des bases des sous-espaces propres de respectivement associés à ) , ! , … , , , alors la famille obtenue en concaténant (c’est-à-dire en juxtaposant) les bases ℬ) , ℬ! , … , ℬ, est une famille libre. Théorème 3 : Soit un espace de dimension et un endomorphisme de . 1) possède au plus valeurs propres distinctes. 2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est inférieure ou égale à . Remarque 3 : C’est une conséquence directe des deux résultats précédents. En effet, dans un espace de dimension , une famille libre contient au plus vecteurs… Théorème 4 : Soit un endomorphisme de et 0 un polynôme annulateur de . Si est une valeur propre de alors 0() = 0 (autrement dit est une racine de 0). Remarque 4 : 1) Les valeurs propres de sont donc racines de tout polynôme annulateur de : les valeurs propres de sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de . 2) ATTENTION : toutes les racines de 0 ne sont pas forcément des valeurs propres de : les racines de 0 vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs propres de . Exemple 2 : Soit un endomorphisme de vérifiant la relation : ( − ) ∘ ( + 2) = 0 Le polynôme 0() = ( − 1)( + 2) = ! + − 2 est un polynôme annulateur de f. Ses racines étant 1 et -2, les valeurs propres de sont à choisir parmi 1 et -2 mais rien ne permet d’affirmer tout de suite que 1 et -2 dont des valeurs propres de … 2) Endomorphismes diagonalisables Définition 4 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de formée de vecteurs propres de . Théorème 5 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de dans laquelle sa matrice est diagonale. Théorème 6 : L’endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale = dim . 2 Théorème 7 : Condition suffisante de diagonalisation Si l’endomorphisme possède exactement valeurs propres ( = dim ) alors est diagonalisable et dans ce cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1. Remarque 5 : L’endomorphisme de l’exemple 1 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés dans les quatre résultats précédents. II – Réduction des matrices carrées 1) Éléments propres d’une matrice carrée a) Définitions Définition 5 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur colonne 6 non nul de ℳ ,) (ℝ) tel que 6 = 6. L’ensemble des valeurs propres de s’appelle le spectre de et se note Sp(). Définition 6 : Soit une valeur propre de. On appelle vecteur propre de associé à la valeur propre tout vecteur 6 non nul de ℳ ,) (ℝ) tel que 6 = 6. Définition 7 : Soit une valeur propre de. L’ensemble () de tous les vecteurs 6 de ℳ ,) (ℝ) tels que 6 = 6 est appelé sous-espace propre de associé à la valeur propre . Autrement dit : () = 76 ∈ ℳ ,) (ℝ)/6 = 68. Remarque 6 : 1) 0, la matrice nulle de ℳ ,) (ℝ), appartient à () : ainsi () contient 0 et tous les vecteurs propres de associés à la valeur propre . 2) 6 ∈ () ⇔ 6 = 6 ⇔ 6 − 6 = 0 ⇔ ( − )6 = 0 b) Propriétés Propriété 4 : Soit une valeur propre de. L’ensemble () est un sous-espace vectoriel de ℳ ,) (ℝ). Théorème 8 : Le réel est valeur propre de si, et seulement si, la matrice − est non inversible. En particulier : 0 est une valeur propre de si et seulement si n’est pas inversible. Conséquence très pratique : Propriété 5 : La matrice est inversible si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de . Propriété 6 : Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. 3 1 Exemple 3 : Soit = 91 3 1 1 1 1;.Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de . 3 3 Théorème 9 : 1) possède au plus valeurs propres distinctes. 2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est inférieure ou égale à . Théorème 10 : Soit une matrice de ℳ (ℝ) et 0 un polynôme annulateur de . Si est une valeur propre de alors 0() = 0 (autrement dit est une racine de 0). Remarque 7 : 1) Les valeurs propres de sont donc racines de tout polynôme annulateur de : les valeurs propres de sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de . 2) ATTENTION : toutes les racines de 0 ne sont pas forcément des valeurs propres de : les racines de 0 vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs propres de . 3 1 Exemple 4 : Soit = 91 3 1 1 1 1;. Calculer = − 7! + 10. Que dire des valeurs propres de ? 3 Théorème 11 : Soit ℬ une base de et la matrice de l' endomorphisme dans la baseℬ. Soit un vecteur de et 6 la matrice colonne de ℳ ,) (ℝ) associée à dans la base ℬ. 1) Le réel est valeur propre de si, et seulement si, est valeur propre de . 2) est un vecteur propre de associé à la valeur propre si, et seulement si, 6est un vecteur propre de associé à la valeur propre . Remarque 8 : Les valeurs propres et les vecteurs propres de sont souvent plus faciles à déterminer : ce résultat permet de transférer dans les résultats obtenus dans ℳ ,) (ℝ). 2) Matrices diagonalisables Définition 8 : La matrice est diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice 0 inversible et une matrice diagonale ? telles que ? = 0@) 0 ou encore = 0?0@) . Autrement dit : et ? sont semblables. Remarque 9 : Les colonnes de la matrice 0 forment une base de ℳ ,) (ℝ) constituée de vecteurs propres de . Théorème 12 : La matrice ∈ ℳ (ℝ) est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale . Théorème 13 : Condition suffisante de diagonalisation Si la matrice ∈ ℳ (ℝ) possède exactement valeurs propres alors est diagonalisable et dans ce cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1. Théorème 14 : Toute matrice symétrique est diagonalisable. Remarque 10 : La matrice de l’exemple 3 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés dans les quatre résultats précédents sauf le théorème 12 car elle ne possède que 2 valeurs propres distinctes et non 3. 4
