2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie
Mathématiques Année 2016/2017
Feuille d’exercices no3 – Diagonalisation, trigonalisation, polynômes annulateurs
Dans tout ce qui suit, kdésignera un corps commutatif, et nun entier naturel non nul. Si Eest un k-espace
vectoriel, nous noterons End(E)l’ensemble des endomorphismes de E. Pour toute matrice MœMn(k), on
rappelle que le polynôme caractéristique de M, noté ‰M, est défini par ‰M(X)=det(XIn≠M).
1êSoient Eun k-espace vectoriel de dimension n,„œEnd(E),etPœk[X]un polynôme annulateur de „.
On suppose que ⁄œkest une valeur propre de „. Prouver que P(⁄)=0.
2êSoient AœMn(R)une matrice satisfaisant à tA=≠A. Comparer ‰A(X)et ‰A(≠X).
3êSoient A, B œMn(k). On veut montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
1) Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
2) Montrer que si Aou Best inversible, alors AB et BA ont même polynôme caractéristique.
3) Considérons plus généralement les matrices de M2n(k):
M=3BA ≠B
00
4,N=30≠B
0AB4,P=3In0 AI
n4.
a.Justifier que Pest inversible.
b. Vérifier que MP =PN.
c. Conclure.
4êSoient A, B œMn(R), et posons :
M=3A≠B
BA
4œM2n(R).
On cherche à exprimer le polynôme caractéristique de Men fonction du polynôme caractéristique de A+iB.
1) Soient a, b œR, et considérons les matrices complexes :
C=3a≠b
ba
4,P=311
i≠i4.
a. Prouver que Pest inversible, et calculer P≠1.
b. Déterminer les valeurs propres de C, et les espaces propres associés à chacune d’entre elles.
c.En déduire que P≠1CP est une matrice diagonale que l’on explicitera.
2) En s’inspirant de ce qui a été fait en 1), déterminer une matrice QœGL2n(C)telle que Q≠1MQ soit
diagonale par blocs, puis conclure.
5êDans M3(R), on considère la matrice :
A=Q
a
011
101
110
R
b.
Calculer A2et vérifier que A2=A+2I3.EndéduirequeAœGL3(R)et exprimer son inverse en fonction de A.
6êDans M3(R), on considère les matrices :
A=Q
a
300
220
111
R
bet B=Q a
2≠21
3≠31
≠120
R
b.
1) Les matrices Aet Bsont-elles diagonalisables ? trigonalisables ? Dans le cas où la matrice considérée est
diagonalisable, diagonaliser la matrice en question.
2) À l’aide du polynôme caractéristique de B, prouver que Best inversible, et exprimer B≠1en fonction de B.
1

2M371 – Algèbre linéaire 2 Feuille d’exercices no3
7êDans M3(R), on considère la matrice :
A=Q
a
100
010
1≠12
R
b.
Justifier que Aest diagonalisable, puis diagonaliser A.
8êDans M3(R), on considère la matrice :
A=Q
a≠120
22≠3
≠22 1
R
b.
1) Aest-elle diagonalisable ?
2) Montrer que Aest trigonalisable, et trigonaliser A.(Indication. On pourra partir d’une famille constituée de
deux vecteurs propres linéairement indépendants puis la compléter en une base de R3.)
3) Résoudre le système différentiel : XÕ=AX.
9êDans M4(R), on considère la matrice :
A=Q
c
c
a
1200
0120
0012
0001
R
d
d
b
.
Expliquer sans calcul pourquoi la matrice An’est pas diagonalisable.
10 ê1) Donner un exemple de matrice dans M2(R), diagonalisable sur Cmais non diagonalisable sur R.
2) Donner un exemple de matrice dans M2(R)non diagonalisable, ni sur C,nisurR.
3) Soit AœMn(R)diagonalisable sur Cet trigonalisable sur R. Montrer que Aest diagonalisable sur R.
11 êOn considère la matrice à coefficients réel :
A=Q
a
11≠1
01 0
10 1
R
b
La matrice Aest-elle diagonalisable dans R? et dans C? si oui, diagonaliser A.
12 êPour tous a, b, c œR, prouver que la matrice :
A=3ac
cd
4
est diagonalisable sur R.
13 êÉtant donnés quatre réels a, b, c, d, on considère la matrice :
A=Q
c
c
a
a≠b≠c≠d
ba d≠c
c≠da b
dc≠ba
R
d
d
b
.
1) Calculer tAA. Que vaut det Aau signe près ?
2) En étudiant le signe du terme en a4dans le déterminant de A, montrer que det A=(a2+b2+c2+d2)2. Sans
calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique de Aest PA=((a≠X)2+b2+c2+d2)2.
3) Aest-elle diagonalisable sur R?(justifier)
4) On se place maintenant dans le cas où a=1,b=c=d=≠1.Vérifierque(iÔ3,1,1,1) et (≠1,i
Ô3,≠1,1)
sont des vecteurs propres de A, puis diagonaliser Asur C.
2

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5) Application : résoudre le système récurent suivant (il n’est pas nécessaire de calculer l’inverse de la matrice
de passage de la question précédente). On notera Ê=1/2+iÔ3/2=eifi/3.
Y
_
_
]
_
_
[
un+1 =un+vn+wn+hn
vn+1 =≠un+vn≠wn+hn
wn+1 =≠un+vn+wn≠hn
hn+1 =≠un≠vn+wn+hn
Y
_
_
]
_
_
[
u0=1
v0=0
w0=0
h0=0
14 êSoient Eun k-espace vectoriel de dimension n,etu, v œEnd(E).
1) On suppose que uet vcommutent, c’est-à-dire que u¶v=v¶u.
a. Montrer que si ⁄œkest une valeur propre de v, alors l’espace propre V⁄de vpour la valeur propre ⁄
est stable par u.
b.En déduire que si uet vsont diagonalisables, ils sont diagonalisables dans une même base, c’est-à-dire
qu’il existe une base de Edans laquelle les matrices de uet vsont diagonales.
2) Réciproquement, deux endomorphismes diagonalisables dans une même base commutent-ils ?
15 êSoit AœMn(k). On suppose que Aest inversible et que ⁄œkest une valeur propre de A.
1) Démontrer que ⁄”=0.
2) Démontrer que si xest un vecteur propre de Apour la valeur propre ⁄, alors xest vecteur propre de A≠1
pour la valeur propre ⁄≠1.
16 êSoient Eun k-espace vectoriel de dimension n,etuun endomorphisme nilpotent de E, c’est-à-dire un
endomorphisme de Epour lequel il existe dœNútel que ud=0.
1) Montrer que un’est pas inversible.
2) Déterminer les valeurs propres de uet les sous-espaces propres associés à ses valeurs propres.
17 êSoit ul’endomorphisme de M2(R)donné par :
u:M
2(R)æM2(R),3ab
cd
4‘æ 3d≠b
≠ca
4.
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de u. L’endomorphisme uest-il diagonalisable ?
18 êOn se place dans M=M
n(k),lek-espace vectoriel des matrices carrées de taille nàcoefficients dans
k.Sii, j œ1,n, on note Eij la matrice de Mdont le coefficient (i, j)égale 1et tous les autres sont nuls. On
rappelle que la famille (Eij )i,jœ1,nest une base de M, donc en particulier que Mest de dimension n2.
1) Soit DœMune matrice diagonale, –,—œk, et considérons :
:MæM,X‘æ –XD +—DX.
a.Justifier que est un endomorphisme de M.
b. Calculer (Eij ), pour tous i, j œ1,n.
2) a. L’endomorphisme est-il diagonalisable ?
b. Exprimer le polynôme caractéristique de en fonction des coefficients de Det de –,—.
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