2M371 – Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie

2M371 – Algèbre linéaire 2
Mathématiques
Université Pierre et Marie Curie
Année 2016/2017
Feuille d’exercices no 3 – Diagonalisation, trigonalisation, polynômes annulateurs
Dans tout ce qui suit, k désignera un corps commutatif, et n un entier naturel non nul. Si E est un k-espace
vectoriel, nous noterons End(E) l’ensemble des endomorphismes de E. Pour toute matrice M œ Mn (k), on
rappelle que le polynôme caractéristique de M , noté ‰M , est défini par ‰M (X) = det(X In ≠M ).
1 ê Soient E un k-espace vectoriel de dimension n, „ œ End(E), et P œ k[X] un polynôme annulateur de „.
On suppose que ⁄ œ k est une valeur propre de „. Prouver que P (⁄) = 0.
2 ê Soient A œ Mn (R) une matrice satisfaisant à t A = ≠A. Comparer ‰A (X) et ‰A (≠X).
3 ê Soient A, B œ Mn (k). On veut montrer que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
1) Montrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres.
2) Montrer que si A ou B est inversible, alors AB et BA ont même polynôme caractéristique.
3) Considérons plus généralement les matrices de M2n (k) :
3
4
3
4
3
4
BA ≠B
0 ≠B
In 0
M =
,
N =
,
P =
.
0
0
0 AB
A In
a. Justifier que P est inversible.
b. Vérifier que M P = P N .
c. Conclure.
4 ê Soient A, B œ Mn (R), et posons :
M =
3
A
B
≠B
A
4
œ M2n (R) .
On cherche à exprimer le polynôme caractéristique de M en fonction du polynôme caractéristique de A + iB.
1) Soient a, b œ R, et considérons les matrices complexes :
3
4
3
4
a ≠b
1 1
C =
,
P =
.
b a
i ≠i
a. Prouver que P est inversible, et calculer P ≠1 .
b. Déterminer les valeurs propres de C, et les espaces propres associés à chacune d’entre elles.
c. En déduire que P ≠1 CP est une matrice diagonale que l’on explicitera.
2) En s’inspirant de ce qui a été fait en 1), déterminer une matrice Q œ GL2n (C) telle que Q≠1 M Q soit
diagonale par blocs, puis conclure.
5 ê Dans M3 (R), on considère la matrice :
Q
0 1
A = a1 0
1 1
R
1
1b .
0
Calculer A2 et vérifier que A2 = A + 2I3 . En déduire que A œ GL3 (R) et exprimer son inverse en fonction de A.
6 ê Dans M3 (R), on considère les matrices
Q
3 0
A = a2 2
1 1
:
R
0
0b
1
Q
2
B = a3
≠1
et
R
≠2 1
≠3 1b .
2 0
1) Les matrices A et B sont-elles diagonalisables ? trigonalisables ? Dans le cas où la matrice considérée est
diagonalisable, diagonaliser la matrice en question.
2) À l’aide du polynôme caractéristique de B, prouver que B est inversible, et exprimer B ≠1 en fonction de B.
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Feuille d’exercices no 3
7 ê Dans M3 (R), on considère la matrice :
Q
R
0 0
1 0b .
≠1 2
1
A = a0
1
Justifier que A est diagonalisable, puis diagonaliser A.
8 ê Dans M3 (R), on considère la matrice :
Q
1) A est-elle diagonalisable ?
R
2 0
2 ≠3b .
2
1
≠1
A = a2
≠2
2) Montrer que A est trigonalisable, et trigonaliser A. (Indication. On pourra partir d’une famille constituée de
deux vecteurs propres linéairement indépendants puis la compléter en une base de R3 .)
3) Résoudre le système différentiel : X Õ = AX.
9 ê Dans M4 (R), on considère la matrice :
Q
1
c0
A = c
a0
0
2
1
0
0
R
0
0d
d.
2b
1
0
2
1
0
Expliquer sans calcul pourquoi la matrice A n’est pas diagonalisable.
10 ê 1) Donner un exemple de matrice dans M2 (R), diagonalisable sur C mais non diagonalisable sur R.
2) Donner un exemple de matrice dans M2 (R) non diagonalisable, ni sur C, ni sur R.
3) Soit A œ Mn (R) diagonalisable sur C et trigonalisable sur R. Montrer que A est diagonalisable sur R.
11 ê On considère la matrice à coefficients réel :
Q
1
A = a0
1
1
1
0
R
≠1
0b
1
La matrice A est-elle diagonalisable dans R ? et dans C ? si oui, diagonaliser A.
12 ê Pour tous a, b, c œ R, prouver que la matrice :
A =
3
a c
c d
4
est diagonalisable sur R.
13 ê Étant donnés quatre réels a, b, c, d, on considère la
Q
a ≠b
cb a
A = c
a c ≠d
d c
1) Calculer t AA. Que vaut det A au signe près ?
matrice :
R
≠c ≠d
d ≠c d
d.
a
b b
≠b a
2) En étudiant le signe du terme en a4 dans le déterminant de A, montrer que det A = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 . Sans
calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique de A est PA = ((a ≠ X)2 + b2 + c2 + d2 )2 .
3) A est-elle diagonalisable sur R ? (justifier)
Ô
Ô
4) On se place maintenant dans le cas où a = 1, b = c = d = ≠1. Vérifier que (i 3, 1, 1, 1) et (≠1, i 3, ≠1, 1)
sont des vecteurs propres de A, puis diagonaliser A sur C.
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Feuille d’exercices no 3
5) Application : résoudre le système récurent suivant (il n’est pas
Ô nécessaire de calculer l’inverse de la matrice
de passage de la question précédente). On notera Ê = 1/2 + i 3/2 = eifi/3 .
Y
Y
un+1 =
un + vn + wn + hn
u0 = 1
_
_
_
_
]
]
vn+1 = ≠un + vn ≠ wn + hn
v0 = 0
w
=
≠u
+
v
+
w
≠
h
w
_
_
n+1
n
n
n
n
_
_ 0 = 0
[
[
hn+1 = ≠un ≠ vn + wn + hn
h0 = 0
14 ê Soient E un k-espace vectoriel de dimension n, et u, v œ End(E).
1) On suppose que u et v commutent, c’est-à-dire que u ¶ v = v ¶ u.
a. Montrer que si ⁄ œ k est une valeur propre de v, alors l’espace propre V⁄ de v pour la valeur propre ⁄
est stable par u.
b. En déduire que si u et v sont diagonalisables, ils sont diagonalisables dans une même base, c’est-à-dire
qu’il existe une base de E dans laquelle les matrices de u et v sont diagonales.
2) Réciproquement, deux endomorphismes diagonalisables dans une même base commutent-ils ?
15 ê Soit A œ Mn (k). On suppose que A est inversible et que ⁄ œ k est une valeur propre de A.
1) Démontrer que ⁄ ”= 0.
2) Démontrer que si x est un vecteur propre de A pour la valeur propre ⁄, alors x est vecteur propre de A≠1
pour la valeur propre ⁄≠1 .
16 ê Soient E un k-espace vectoriel de dimension n, et u un endomorphisme nilpotent de E, c’est-à-dire un
endomorphisme de E pour lequel il existe d œ Nú tel que ud = 0.
1) Montrer que u n’est pas inversible.
2) Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés à ses valeurs propres.
17 ê Soit u l’endomorphisme de M2 (R) donné par :
u : M2 (R) æ M2 (R) ,
3
a b
c d
4
‘æ
3
4
d ≠b
.
≠c a
Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de u. L’endomorphisme u est-il diagonalisable ?
18 ê On se place dans M = Mn (k), le k-espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients dans
k. Si i, j œ 1, n , on note Eij la matrice de M dont le coefficient (i, j) égale 1 et tous les autres sont nuls. On
rappelle que la famille (Eij )i,jœ 1,n est une base de M, donc en particulier que M est de dimension n2 .
1) Soit D œ M une matrice diagonale, –, — œ k, et considérons :
: M æ M, X ‘æ –XD + —DX.
a. Justifier que
b. Calculer
est un endomorphisme de M.
(Eij ), pour tous i, j œ 1, n .
2) a. L’endomorphisme
est-il diagonalisable ?
b. Exprimer le polynôme caractéristique de
en fonction des coefficients de D et de –, —.
3