Réduction des endomorphismes

Réduction des endomorphismes
I) Etude du problème
1.1) Rappel du problème
On considère un endomorphisme  dans un espace vectoriel de dimension  rapporté à une base .
Soitla matrice de cet endomorphisme dans la base 
Soit un vecteur  solution, et λ le nombre réel tel que 
Pour ce réel λ, appelons  l’ensemble des vecteurs  de  tels que 
Donc 
Montrons que  est un sous-espace vectoriel de 
On a évidemment par définition de 
On sait que 
Or 
Donc 
Donc 
Donc 
Soit  et  deux vecteurs de   et soit  et  deux nombres réels.
Soit 
On a 
Donc 
est stable par combinaison linéaire.
Donc  est un sous-espace vectoriel de 
1.2) Autre définition de 
Appelons  l’application définie sur  par
Comme  est un endomorphisme de , donc  et donc  est une application
de  dans  Montrons que 
est une application linéaire.
Soit  et  deux vecteurs de  et  un nombre réels. On a

En définitive,  est une application linéaire de  dans  c’est un endomorphisme de 
On a 
On a donc 
Quelle est la matrice associée à 
Soit  le vecteur colonne associé à un vecteur  Soit 
 et 
Soit  le vecteur colonne associé à  et  le vecteur colonne associé à 
On a 
Donc 
Si  est la matrice de  dans la base de  dans laquelle on travaille, on a :
On en déduit que 
La matrice associée à  dans cette base est donc 
1.3) Dimension de 
Nous avons vu que  est un sous-espace vectoriel de  donc sa dimension est inférieure ou égale à
celle de 
Nous avons vu également que 
Si l'endomorphisme  est bijectif, alors son noyau ne contient que le vecteur nul et sa dimension est
égale à 0. S'il n'est pas bijectif alors sa dimension est un entier  compris entre 1 et la dimension de
l'espace 
1.4) Intersection des sous-espaces 
Considérons deux valeurs  et  différentes.
Etudions l'intersection de ces deux sous-espaces vectoriels et 
Soit un vecteur  tel que 
On aura donc 
Donc 
On en tire 
Donc 
Comme 

On a nécessairement 
Donc 
1.5) Familles libres de vecteurs des espaces 
Supposons qu'il existe au moins deux réels distincts  et  tels que les espaces  et  ne soient
pas réduits au vecteur nul (c'est-à-dire contiennent d'autres vecteurs que le vecteur nul).
Soit  un vecteur non nul de  et  un vecteur non nul de 
Montrons que la famille   est une famille libre.
Soit  et  deux nombres réels tels que 
Si  alors on a  et comme   on a 
Si  alors on peut écrire 
Comme   et comme  est colinéaire à   on a également 
Donc 
Or 
Donc 
Ce qui est contradictoire à l'hypothèse.
Donc si  le seul cas possible est : 
La famille est libre.
On va généraliser cette propriété par récurrence.
L'hypothèse de récurrence est la suivante : on dispose de  réels tous différents   tels que les
sous-espaces vectoriels  ne soient pas réduits au vecteur nul et l'on considère  vecteurs
non nuls  tels que pour tout   Alors la famille   est une famille
libre.
On considère alors un nombre réel supplémentaire  différent de tous les autres, tel que le sous-
espace  contienne des vecteurs non nuls. Soit  un vecteur non nul de 
Montrons que la famille 
 est libre.
Supposons qu'elle soit liée. Comme la famille 
 est libre, cela signifie que le vecteur 
s'exprime comme combinaison linéaire des autres vecteurs. On pourra donc écrire  sous la forme
On a donc 
Par définition de 
On a donc 
Or 

On a donc 
Et donc 
Ce qui donne 
Comme la famille   est libre par hypothèse de récurrence, on en déduit que
Or tous les  sont différents entre eux, donc
Et donc 
Mais alors 
Ce qui est contradictoire au fait que nous avons pris  non nul.
Donc l'hypothèse : la famille 
 est liée conduit à une contradiction.
C'est donc une famille libre. Il y a hérédité.
Donc  si l'on considère  réels  tous différents tels que les sous-espaces  ne
soient pas réduits au vecteur nul et vecteurs non nuls  tels que   alors
la famille   est une famille libre de l'espace vectoriel 
1.6) Valeurs propres
Soit  un endomorphisme de  et  un réel tel que le sous-espace  ne soit pas réduit au vecteur nul
(il se peut qu'il n'existe aucun réel λ remplissant cette propriété).
Si le réel λ existe, on dit qu'il s'agit d'une valeur propre de l'endomorphisme 
Le sous-espace  est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ.
Les vecteurs non nuls d'un sous-espace propre  sont appelés vecteurs propres associés à la
valeur propre λ.
On appelle spectre de  l'ensemble des valeurs propres de 
Nous avons alors le théorème suivant
Théorème
Le nombre d'éléments du spectre de  est inférieur ou égal à la dimension de l'espace 
Ce théorème se démontre par l'absurde.
Supposons que et que le spectre de  contienne au moins  élements.
Nous aurions donc  sous-espaces  non réduits au vecteur nul, associés à valeurs
propres distinctes.
On peut alors choisir dans chacun de ces sous-espaces un vecteur non nul. On aura alors une famille
de  vecteurs  dont on a vu qu'ils forment une famille libre de 
Or dans un espace vectoriel, nous avons vu qu'une famille libre contient toujours un nombre de
vecteurs inférieur ou égal à la dimension de l'espace. Il y a donc contradiction.

II) Diagonalisation
2.1) Le théorème des dimensions
Nous savons maintenant que nous aurons au plus autant de valeurs propres distinctes que la
dimension de l'espace 
Posons et supposons que nous ayons  valeurs propres distinctes, 
On a donc 
Si  il n'y a aucune question à se poser.
On se place donc dans la situation où 
Chacun des sous-espaces propres  a une dimension  comprise entre 1 et  (puisqu'il s'agit de
sous-espaces vectoriels de  contenant au moins un vecteur non nul).
Le sous-espace  a donc une base de  vecteurs. Appelons  les vecteurs d'une telle base.
Puis "réunissons" les vecteurs des différentes bases des espaces propres en une seule famille qui
comprendra donc  vecteurs.
Montrons que la famille ainsi constituée est une famille libre de 
On considère donc  réels tels que
On désigne chaque partie de la somme correspondant aux vecteurs du même sous-espace comme
un seul vecteur: 
Cette somme s'écrit 
Chacun des vecteurs  étant dans l'espace 
La famille   est liée puisque n'importe quel vecteur de la famille est soit nul soit s'exprime
comme combinaison linéaire des autres. Or nous savons que puisque chacun de ces vecteurs vient
d'un espace propre différent, s'ils ne sont pas nuls, ils forment une famille libre. Il faut donc qu'ils
soient tous égaux à  pour que cette égalité soit possible.
On aura donc nécessairement 
Examinons par exemple ce que donne 
On a 
Mais les vecteurs  forment une base de  Il s'agit donc d'une famille libre.
Et donc 
On démontre ainsi que pour chaque vecteur   tous les coefficients sont nuls.
En définitive tous les coefficients de la somme 
sont nuls.
La famille est donc libre.
Le nombre de vecteurs qui la composent est donc inférieur ou égal à la dimension de l'espace
vectoriel.