Réduction des endomorphismes symétriques Soit E un espace

Réduction des endomorphismes symétriques
Soit Eun espace euclidien de dimension n.
Lemme 1. Soient f∈ L(E)et Fun sev de E. Alors Fstable par f⇐⇒ F⊥stable par f∗.
Preuve. Cela provient de la décomposition E=F⊥ ⊕F⊥:
f(F)⊂F⇐⇒ ∀y∈F⊥,∀x∈F, hy, f(x)i= 0
⇐⇒
∀x∈F, ∀y∈F⊥,hx, f∗(y)i= 0 ⇐⇒ f∗(F⊥)⊂F⊥.
Théorème 2. On suppose n>1. Soit f∈S(E). Alors fest orthogonalement diagonalisable.
Démonstration.
1. Existence d’une valeur propre. Soit Sla sphère unité de E. Si n>1alors S6=∅. Considérons
Φ: S−→ R
x7−→ hx, f(x)i.
Eest de dimension finie, donc Sest compacte et Φest continue car les applications linéaires et bilinéaires
sont continues. Φest alors bornée et atteint sa borne inférieure λ∈Ren un point y∈S:Φ(y) = λ=
min Φ. Montrons que yest un vecteur propre de fassocié à la valeur propre λ.
Considérons pour cela la forme quadratique associée à f−λId :
q:E−→ R
x7−→ hx, (f−λId)(x)i=hx, f(x)−λxi,
Par définition de λet y,q(y) = Φ(y)−λ= 0 et pour tout x∈S,q(x) = Φ(x)−λ>0. Si x∈E\ {0}, on
a aussi par homogénéité q(x) = kxk2q(x
kxk)>0, et qest donc une forme quadratique positive. Notons ϕ
sa forme polaire. Alors d’après l’inégalité de Cauchy–Schwarz,
∀x∈E, ϕ(x, y)26q(x)q(y) = 0,
c’est-à-dire 0 = ϕ(x, y) = hx, f (y)−λyipour tout x∈E. D’où f(y) = λy et λ∈Sp f.
2. Orthogonalité des espaces propres. Soient x, y deux vecteurs propres de fassociés à des valeurs propres
distinctes λ, µ respectivement. Comme f∗=f,µhx, yi=hx, f (y)i=hf(x), yi=λhx, yi, donc hx, yi= 0.
Les espaces propres de fsont donc orthogonaux.
3. Conclusion. Soit donc
F:=
⊥
M
λ∈Sp f
Ker(f−λId).(⋆)
Fest stable par fdonc F⊥est stable par f∗=f(lemme 1) ; finduit alors un endomorphisme symétrique
de F⊥sans valeur propre. D’après 1., ceci n’est possible que si dim F⊥= 0. D’où F=E, et (⋆) montre
alors que fest orthogonalement diagonalisable. 
Application 3 (Réduction simultanée).Soient A∈S>0
n(R)et B∈Sn(R). Alors il existe P∈GLn(R)et une
matrice diagonale D∈ Mn(R)telles que A=tP P et B=tP DP .
Preuve. La forme bilinéaire symétrique définie positive acanoniquement associée à Adéfinit un produit scalaire
sur Rn. Dans toute base de Rnorthonormée pour a,aa pour matrice Idn. Soient e:= (e1, . . . , en)la base
canonique de Rnet ul’endomorphisme symétrique de l’espace euclidien (Rn, a)ayant Bpour matrice dans la
base e. Par le théorème 2 uadmet une base de diagonalisation ε:= (ǫ1, . . . , ǫn)de Rnorthonormée pour a.
Soit Pla matrice de passage de εà(e1, . . . , en). La matrice D:=tP−1BP −1est diagonale et tP−1AP −1est la
matrice de adans la base εorthonormée pour a, donc tP−1AP −1= Idn. D’où A=tP P et B=tP DP .
Références. [Gri]
153 Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Ap-
plications.
170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
203 Utilisation de la notion de compacité.
[Gri] Joseph Grifone :Algèbre linéaire. 4ème édition.
[email protected] – v20140910 1/1