Exercice 1. Soit f un endomorphisme de R 3 ayant les deux

Université Paris 7 MP3
Algèbre et Analyse fondamentales I L2 Physique
TD groupe PHY-1/2/3/4 Octobre 2015
Trigonalisation
Exercice 1. Soit fun endomorphisme de R3ayant les deux propriétés suivantes :
– la seule valeur propre de fest 1,
– le sous-espace propre P=E1(f)est de dimension 2.
1. Soit uun vecteur quelconque du plan P. Que vaut f(u)?
2. Soit (u1, u2)une base de Pet u3un vecteur de R3n’appartenant pas à P.
(a) Montrer que (u1, u2, u3)est une base de R3.
(b) Montrer que la matrice de fdans la base (u1, u2, u3)est de la forme
1 0 a
0 1 b
0 0 c
, où a,b,csont des nombres réels.
(c) Exprimer le polynôme caractéristique de fà l’aide de c. En déduire que c= 1.
3. Montrer que l’endomorphisme fn’est pas diagonalisable.
4. Soit v3un vecteur n’appartenant pas à P. On pose v2=f(v3)−v3.
(a) Montrer que le vecteur v2est non nul et appartient à P.
(b) Montrer qu’il existe un vecteur v1∈Ptel que (v1, v2, v3)soit une base de R3.
(c) Quelle est la matrice de fdans la base (v1, v2, v3)?
Exercice 2. Soit α∈[0,2π). On considère la matrice
Aα=
cos α−sin α0
sin αcos α0
2−1 cos α
.
1. Déterminer les valeurs de αpour lesquelles Aαest trigonalisable en tant que matrice
réelle.
2. Déterminer les valeurs de αpour lesquelles Aαest trigonalisable en tant que matrice
complexe. Dans ce cas, la matrice est-elle aussi diagonalisable dans C?
Exercice 3. Soit fl’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est
A=
0 1 0
−4 4 0
−2 1 2
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de A. Montrer que fest trigonalisable sur R.
2. L’endomorphisme fest-il diagonalisable sur R?
1

3. Trouver une base de R3dans laquelle fest triangulaire supérieure.
4. Calculer (A−2I3)2. En déduire la valeur de Anpour tout n∈N.
Exercice 4.* Soient aun nombre réel et fl’endomorphisme de R4dont la matrice dans la
base canonique est
A=
−1 1 1 3a
2 0 −2−2
−2 1 2 3a
0 0 1 0
.
1. Calculer le polynôme caractéristique de f. Montrer que 1est valeur propre de f. (On
pourrra retrancher la ligne 1à la ligne 3dans le calcul du déterminant.)
2. On suppose que a6= 1.
(a) Montrer que fest trigonalisable sur Rsi et seulement si a > 1. (On pourra écrire
det(f−xId)=(x−1)Q(x)et étudier les variations de Q(x)sur R.)
(b) Lorsque a > 1, l’endomorphisme fest-il diagonalisable sur R?
3. On suppose que a= 1.
(a) Trouver une base de chaque sous-espace propre.
(b) L’endomorphisme fest-il diagonalisable ?
(c) Trouver une base de R4dans laquelle la matrice de f, notée T, est triangulaire
supérieure.
(d) Calculer Tn, pour tout n∈N.
Eléments de correction. Pour le cas a= 1, une manière de procéder. Pour le déterminant
utiliser les operations sur les lignes puis les colonnes suivantes : L3←L3−L1puis C3←C3+C1
afin de développer par rapport à la 3ieme ligne. On trouve det(A−xI) = (x−1)3(x−2). On
trouve un vecteur propre pour λ=−2:v1= (2,−1,2,−1)T. Pour l’autre valeur propre, −1,
de multiplicité 3, on trouve que le sous espace propre E1=Ker(A−I)est de dimension 2,
engendré par exemple par (1,2,0,0)Tet (0,−4,1,1)T(les deux dernières composantes doivent
êtres égales). Pour trigonaliser, on prend B=A−Iet on calcule B2:
B2=
4.−2.0.−8.
−2.1.0.4.
4.−2.0.−8.
−2.1.0.4.
(1)
On trouve la 3ième colonne nulle. Donc x= (0,0,1,0)Test dans KerB2(B2x= 0). On
prend v3:= xet v2:= Bx. Enfin prendre v4qui soit dans KerB mais pas dans KerB2:
par exemple le premier vecteur trouvé dans E1:v4= (1,2,0,0)T. On obtient alors, avec
F= (v1, v2, v3, v4):
Mat(v2,v3,v4)(B) = 
010
000
000
puis T=MatF(A) = 
−2 0 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
2

On trouve (par récurrence sur n) que 1 1
0 1n
=1n
0 1, puis par un calcul par blocs :
Tn=
−2 0 0 0
0 1 n0
0 0 1 0
0 0 0 1
.
3