1 Vecteurs propres et valeurs propres - ANMC

Algèbre linéaire avancée
Prof. A. Abdulle
Automne 2015
EPFL
Résumé de la semaine du 30 novembre 2015
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Vecteurs propres et valeurs propres
1.1 Dénitions et premières propriétés.
Dénition d'un vecteur propre et d'une valeur propre pour une matrice et une application. L'ensemble des valeurs propres de A ou d'une application s'appelle le spectre de
A (ou f ), on le note spec(A) (ou spec(f )). Exemples.
On note que A est inversible si et seulement si 0 ∈
/ spec(A).
Les valeurs propres d'une matrice A sont les zàro de
la fonction λ ∈ K → det(λI − A). Déniton du polynôme caractéristique d'une matrice
A, on le note pA = det(λI − A).
Lien avec les déterminants.
Lemme 1.
n et
Soit A ∈ Mn×n (K). Alors le polynôme caractéristique pA de A est de degré
pA = a0 + a1 t + . . . + an−1 tn−1 + tn ,
où a0 = (−1)n det(A) et an−1 = −(a11 + . . . + ann ) = −trace(A).
Dénition de la trace d'une matrice A, on la note trace(A).
Soit p ∈ K(t) de la forme p = a0 + a1 t + . . . + an−1 tn−1 + an tn . Alors p est
le polynôme caractéristique d'une matrice A ∈ Mn×n (K).
Lemme 2.
L'existence ou non des valeurs propres dépend du coprs considéré.
(Théorème fondamental de l'algèbre). Soit p ∈ C(t) de degré n ≥ 1.
Alors p a une racine dans C.
Théorème 1
Soit A ∈ Mn×n (K) une matrice triangulaire inférieure ou triangulaire
supérieure. Alors les valeurs propres de A sont les éléments de la diagonale de A.
Lemme 3.
Soit V un K -espace vectoriel de dimension nie, f ∈ L(V, V ), et λ ∈ K .
Alors les assertions suivantes sont équivalentes.
Remarque.
i) λ est une valeur propre de f ,
ii) ker(λid − f ) 6= {0},
iii) λid − f n'est pas inversible.
Théorème 2.
Soit A ∈ Mn×n (K) et P ∈ Mn×n (K) inversible. Alors
i) le spectre de A et celui de P −1 AP est identique.
ii) x ∈ K n est un vecteur propre de A si et seulement si P −1 x est un vecteur propre
de P −1 AP .
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On note que des matrices similaires ont le même spectre. On dénit le polynôme
caractéristique d'une application linéaire f comme étant le polynôme caractéristique de
la matrice de f dans une certaine base.
Soit V un K -espace vectoriel de dimension f inie et f ∈ L(V, V ). Soit
B une base de V . Alors si λ ∈ spec(f ) associé au vectoeur propre v ∈ V , on a λ ∈
spec([f ]B,B ) associé au vecteur propre [v]B ∈ K n . Réciproquement si λ ∈ spec([f ]B,B )
associé au vecteur propre x ∈ K n , alors λ ∈ spec(f ) associé au vecteur propre [x]−1
B ∈V.
Théorème 3.
Dénition d'un espace propre associé λ, on le note Eλ (A)(pour une matrice A) ou Eλ (f )
(pour une application f ).
1.2 Décomposition en espaces propres, diagonalisation et triangularisation.
Soit A ∈ Mn×n (K) et λ1 , . . . , λr des valeurs propres distinctes de A associées au vecteurs propres v1 , . . . , vr . Alors {v1 , . . . , vr } est une famille libre de K n .
Lemme 1.
Soient A ∈ Mn×n (K) (resp.f ∈ L(V, V )), V un K -espace vectoriel de
dimension nie, et λ1 , . . . , λr des valeurs propres distinctes de A (resp. f ). Alors la
somme Eλ1 (A) + . . . Eλr (A) (resp. Eλ1 (f ) + . . . Eλr (f )) est une somme directe.
Corollaire.
Dénition d'une matrice diagonalisable. Dénition d'une application linéaire diagonalisable.
Soit A ∈ Mn×n (K). La matrice A est diagonalisable si et seulement si
il existe une base K n formée de vecteurs propres de A.
Théorème 1.
Corollaire 1. Soient A ∈ Mn×n (K) et λ1 , . . . , λr des valeurs propres distinctes de A
(resp. f ∈ L(V, V )). Alors A (resp. f ) est diagonalisable si et seulement si
Eλ1 (A) ⊕ . . . ⊕ Eλr (A) = K n , resp. Eλi (f )).
Soit A ∈ Mn×n (K) et supposons que A possède n valeurs propres distinctes (resp. f ∈ L(V, V )). Alors A (resp. f ) est diagonalisable.
Corollaire 2.
On note que la propriété d'avoir n valeurs propres disctinctes est une condition susante
pour être diagonalisable. Mais il ne s'agit pas d'une condition nécéssaire (par exemple
la matrice In ).
Dénition de
la multiplicité algébrique d'une valeur propre, on la note malg (λ). Dénition de la
multiplicité géométrique, on la note mgom .
Multiplicité algébrique et géométrique d'une valeur propre.
Soient A ∈ Mn×n (K) et λi ∈ spec(A) (resp. f et λi spec(f )). Aors
mgom (λi ) ≤ malg (λi ).
Lemme 2.
Théorème 2 (Théorème de diagonalisation). Soit A ∈ Mn×n (K). Alors A est diagonalisable si et seulement si
i) pA (λ) est scindé i.e., pA (λ) = Πri=1 (λ − λi )mi ,
Pr
i=1 mi
= n,
ii) pour tout λi ∈ spec(A), mgom (λi ) = malg (λi ), i = 1, . . . , r.
Informations générales, séries et corrigés: cf. http://anmc.epfl.ch/Algebre.html.
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