Contrôle 4

Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Module 13 :
Session Universitaire : Printemps-Été, 2015-2016
Semestre II / Section A
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle de Rattrapage
(Durée : 1 heure et demie)
 Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
 La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
 Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I – 𝟏𝟐 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 – Algèbre linéaire
Exercices 1 :
Soient Am et 𝐵 deux matrices carrées d’ordre 3 données par :
𝐴𝑚 =
0 1
𝑚 2
−2 1
1
1
2
𝑒𝑡
3
𝐵 = −6
6
−1
2
−2
−1
2
−2
1. Selon le paramètre 𝑚, calculer 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑚 ), le rang de la matrice 𝐴𝑚 ;
2. Nous posons 𝑚 = 2, Montrez que 𝐴2 et 𝐵 sont des diviseurs de zéro.
Exercice 2 :
Nous considérons la base canonique 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑒4 de ℝ4 . Les deux matrices carrées 𝐼4 et
04 sont respectivement la matrice unité et la matrice nulle d’ordre 4. Soit 𝑓 l’endomorphisme
défini dans ℝ4 par :
𝑓 𝑒1 = 1,0, −1,0 ;
𝑓 𝑒2 = 0,1,0, −1 ;
𝑓 𝑒3 = −1,0,1,0
𝑒𝑡 𝑓 𝑒4 = 0, −1,0,1
1. Donnez l’écriture analytique de 𝑓 ;
2. Soit 𝐴 = 𝑀(𝑓/𝐵), la matrice associée à 𝑓 relativement aux bases canoniques.
a. Déterminez 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ;
b. Déduisez-en 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 , le rang de l’endomorphisme 𝑓 ;
Page 1/2
Pr. Amale LAHLOU
Contrôle de Rattrapage
Session Universitaire Printemps-Été, 2015/2016
c. 𝑓 est-il un automorphisme de ℝ4 ?
d. Posons 𝑀 = 𝐴 − 𝐼4 . Calculez 𝑀 puis 𝑀2016 .
3. Soient 𝐹1 et 𝐹2 deux sous-espaces de ℝ4 :
𝐹1 = {𝑢 ∈ ℝ4 ∶ 𝐴𝑢 = 04 }
𝐹2 = 𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑡, −𝑥 + 𝑧, −𝑦 + 𝑡 ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ
a. Montrez que 𝐹1 et 𝐹2 sont deux sous-espaces vectoriels de ℝ4 ;
b. Montrez que 𝐹1 ⨁𝐹2 = ℝ4 .
Partie II – 𝟖 𝐩𝐨𝐢𝐧𝐭𝐬 – Mathématiques Financières
Exercice 1 :
Définissez les taux équivalents.
Exercice 2 :
La valeur actuelle des versements trimestriels de 5 000 DH pendant 4 ans est 60 000 DH.
1. Quel est le taux d'intérêt trimestriel appliqué ?
2. Quel est le taux d'intérêt annuel équivalent ?
Nous donnons :
et
−16
pour 𝑖 = 3 % ∶
1− 1+𝑖
𝑖
−16
pour 𝑖 = 4 % ∶
1− 1+𝑖
𝑖
= 12.5611
= 11.6523
Bonne Chance
Semestre II / Section A
Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Page 2/2
Pr. Amale LAHLOU
Contrôle de Rattrapage
Session Universitaire Printemps-Été, 2015/2016
Partie I – Algèbre linéaire
Solution 1:
1. Considérons les deux matrices carrées d’ordre 3, Am et 𝐵 :
0 1 1
3 −1 −1
𝐴𝑚 = 𝑚 2 1
𝑒𝑡
𝐵 = −6 2
2
−2 1 2
6 −2 −2
Selon le paramètre 𝑚, calculons 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑚 ) : on sait que 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑚 ≤ 3. Calculons le déterminant
de la matrice 𝐴𝑚 :
0 1 1
1 1
1 1
𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑚
=
−2
= −𝑚 + 2
𝑚 2 1 = −𝑚
1 2
2 1
−2 1 2
Ainsi, 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑚 = 0 ⟺ 2 − 𝑚 = 0 ⟺ 𝑚 = 2
Si 𝑚 ≠ 2 alors 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝑚 ≠ 0 et donc 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴𝑚 = 3
0 1
Si 𝑚 = 2 alors 𝑑𝑒𝑡 𝐴2 = 0 et donc 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴2 ≤ 2. Comme
≠ 0 alors 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝐴2 = 2.
2 2
2. Nous posons 𝑚 = 2, soit donc
0 1 1
𝐴2 = 2 2 1
−2 1 2
Calculons le produit 𝐴2 𝐵 :
0 1 1
3 −1 −1
0 0 0
𝐴2 𝐵 = 2 2 1 −6 2
2 = 0 0 0
−2 1 2
6 −2 −2
0 0 0
3 −1 −1
0 1 1
0 0 0
𝐵 𝐴2 = −6 2
2
2 2 1 = 0 0 0
6 −2 −2 −2 1 2
0 0 0
Comme 𝐴2 ≠ 03 , 𝐵 ≠ 03 et 𝐴2 𝐵 = 03 , alors les deux matrices 𝐴2 et 𝐵 sont des diviseurs de
zéro.
Solution 2 :
Nous considérons la base canonique 𝐵 = 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑒4 de ℝ4 . Les deux matrices carrées 𝐼4 et 04 sont
respectivement la matrice unité et la matrice nulle d’ordre 4. Soit 𝑓 l’endomorphisme défini dans
ℝ4 par :
𝑓 𝑒1 = 1,0, −1,0 ; 𝑓 𝑒2 = 0,1,0, −1 ; 𝑓 𝑒3 = −1,0,1,0 𝑒𝑡 𝑓 𝑒4 = 0, −1,0,1
1. Donnons l’écriture analytique de 𝑓 :
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑓 𝑥𝑒1 + 𝑦𝑒2 + 𝑧𝑒3 + 𝑡𝑒4
= 𝑥𝑓 𝑒1 + 𝑦𝑓 𝑒2 + 𝑧𝑓 𝑒3 + 𝑡𝑓 𝑒4
= 𝑥 1,0, −1,0 + 𝑦 0,1,0, −1 + 𝑧 −1,0,1,0 + 𝑡 0, −1,0,1
= 𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑡, −𝑥 + 𝑧, −𝑦 + 𝑡
2. Soit 𝐴 = 𝑀(𝑓/𝐵), la matrice associée à 𝑓 relativement aux bases canoniques.
1
0 −1 0
0
1
0 −1
𝐴 = 𝑀(𝑓/𝐵) =
−1 0
1
0
0 −1 0
1
a. Déterminons 𝐾𝑒𝑟 𝑓 :
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⟹ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = (0,0,0,0)
⟹ 𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑡, −𝑥 + 𝑧, −𝑦 + 𝑡 = (0,0,0,0)
⟹ 𝑥 = 𝑧 𝑒𝑡 𝑦 = 𝑡
Ainsi,
Semestre II / Section A
Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Page 3/2
Pr. Amale LAHLOU
Contrôle de Rattrapage
Session Universitaire Printemps-Été, 2015/2016
=
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ4 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = (0,0,0,0)
=
𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
=
1,0,1,0 , 0,1,0,1
Les deux vecteurs sont indépendants. Donc dim 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 2.
𝐾𝑒𝑟 𝑓
b. Nous déduisons 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 , rang de l’endomorphisme 𝑓 : on sait d’après le théorème de la
dimension :
𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = dim 𝐼𝑚 𝑓 = dim ℝ4 − dim 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 4 − 2 = 2
Méthode directe :
1
0 −1 0
0
1
0 −1
1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑀(𝑓/𝐵) = 𝑟𝑎𝑛𝑔
≤4
−1 0
1
0
0 −1 0
1
Comme la colonne 1 et la colonne 3 sont opposés alors :
1
0 −1 0
0
1
0 −1
=0
−1 0
1
0
0 −1 0
1
alors 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 ≤ 3. Or,
1 0
0 1
−1 0
−1
0 −1 0
0 −1 0
0 −1 0
0 = 0
1 0 = 1
0 −1 = 1 0 −1 = ⋯ = 0
1
−1 0 1
−1 0
1
0 1
0
À chaque fois deux lignes ou deux colonnes opposés. Donc, 1 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 ≤ 2. Comme
1
0
0
=
1
1 ≠ 0, alors 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 2.
c. 𝑓 n’est pas un automorphisme de ℝ4 puisque 𝑓 est non bijective du fait que 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑓 = 2 ≠
4 ou encore 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ≠ 0ℝ4
d. Calculons 𝑀 puis 𝑀2016 .
0
0 −1 0
0
0
0 −1
𝑀 = 𝐴 − 𝐼4 =
−1 0
0
0
0 −1 0
0
2
0
0 −1 0
1 0 0 0
0
0
0 −1
0 1 0 0
𝑀2 =
=
= I4
−1 0
0
0
0 0 1 0
0 −1 0
0
0 0 0 1
108
2016
2 108
𝑀
= 𝑀
= I4
= 𝐼4
3. Soient 𝐹1 et 𝐹2 deux sous-espaces de ℝ4 ∶
𝐹1 = {𝑢 ∈ ℝ4 ∶ 𝐴𝑢 = 04 }
𝐹2 = 𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑡, −𝑥 + 𝑧, −𝑦 + 𝑡 ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ
a. Montrons que 𝐹1 et 𝐹2 sont deux sous-espaces vectoriels de ℝ4 ∶
𝐹1 = {𝑢 ∈ ℝ4 ∶ 𝐴𝑢 = 04 }
=
𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ4 ∶ 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = (0,0,0,0)
= 𝐾𝑒𝑟 𝑓
𝐹2 =
𝑥 − 𝑧, 𝑦 − 𝑡, −𝑥 + 𝑧, −𝑦 + 𝑡 ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∶ 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ∈ ℝ
= 𝐼𝑚 𝑓
Ainsi, 𝐹1 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓 est un sous espace vectoriel de ℝ4 et 𝐹2 = 𝐼𝑚 𝑓 est aussi un sous espace
vectoriel de ℝ4 .
Semestre II / Section A
Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Page 4/2
Pr. Amale LAHLOU
Contrôle de Rattrapage
Session Universitaire Printemps-Été, 2015/2016
b. Montrons que 𝐹1 ⨁𝐹2 = ℝ4 .
On sait d’après un résultat du cours que 𝐼𝑚 𝑓 = 𝐹2 et 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 𝐹1 sont supplémentaires sur ℝ4 .
D’où, 𝐹1 ⨁ 𝐹2 = ℝ4 .
Partie II – Mathématiques Financières
Solution 1 : Les taux équivalents : deux taux définis pour des périodes de capitalisation différentes
sont équivalents s’ils produisent la même valeur acquise quand ils sont appliqués au même capital. Si
le taux de la période est 𝑖, et si la période est divisée en 𝑘 sous-périodes, le taux équivalent 𝑖𝑘 pour une
sous période est celui qui assure l’égalité des capitaux acquis au bout de la période, ainsi 1 + 𝑖 =
𝑘
1 + 𝑖𝑘 𝑘
Autrement dit, 𝑖𝑘 = 1 + 𝑖 − 1
Par exemple, si
 𝑖𝑎 : taux annuel
 𝑘 : le nombre de sous-périodes dans une année
 si la période de capitalisation est annuelle, alors 𝑘 = 1 ;
 si la période de capitalisation est semestrielle, alors 𝑘 = 2 ;
 si la période de capitalisation est trimestrielle, alors 𝑘 = 4 ;
 si la période de capitalisation est mensuelle, alors 𝑘 = 12 ;
 si la période de capitalisation est hebdomadaire, alors 𝑘 = 52 ;
 si la période de capitalisation est journalière, 𝑘 = 360.
 𝑖𝑘 : taux équivalent par période
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙 =
2
1 + 𝑖𝑎 − 1
𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑒𝑙 =
4
1 + 𝑖𝑎 − 1
𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑒𝑙 =
12
1 + 𝑖𝑎 − 1
Solution 2 : La valeur actuelle des versements trimestriels de 5000,00 DH pendant 4 ans est de 60
000,00 DH. Quel est le taux d'intérêt trimestriel appliqué ? Quel est le taux d'intérêt annuel
équivalent ?
On pose :
𝑉𝐴 = 60 000.00 DH, 𝑛 = 16 trimestres, 𝑎 = 5 000.00 𝐷𝐻 et 𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑒𝑙 = 𝑖𝑡 =? %.
Par simple application de la formule :
1 − 1 + 𝑖𝑡 −𝑛
1 − 1 + 𝑖𝑡 −𝑛
𝑉𝐴
𝑉𝐴 = 𝑎
⟹
=
𝑖𝑡
𝑖𝑡
𝑎
Application numérique :
1 − 1 + 𝑖𝑡 −16 60 000.00
=
= 12
𝑖𝑡
5 000.00
pour i = 3 % on a
1− 1+i −16
i
= 12.5611 et pour i = 4 % on a
1− 1+i −16
i
= 11.6523
Ainsi, par interpolation linéaire on trouve :
4 −3
𝑖𝑡 − 3
=
11.6523 − 12.5611 12 − 12.5611
12 − 12.5611
⟹ 𝑖𝑡 =
(4 − 3) + 3
11.6523 − 12.5611
⟹ 𝑖𝑡 = 3.62 %
Ainsi, le taux annuel équivalent 𝑖𝑎 sera donc,
1 + 𝑖𝑎 = 1 + 𝑡𝑡 4
⟹
𝑖𝑎 = 1 + 𝑖𝑡 4 − 1
3.62 4
𝑖𝑎 = 1 +
− 1 = 0.1529 = 15.29 %
100
Semestre II / Section A
Module 13 : Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Page 5/2