Contrôle 4

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Filière des Sciences Économiques et de Gestion
Tronc commun
Pr. Amale LAHLOU
Session Universitaire : Printemps-Été, 2015-2016
Semestre II / Section A
Module 13
:
Algèbre Linéaire & Mathématiques Financières
Contrôle de Rattrapage
(Durée : 1 heure et demie)
 Toute réponse doit être justifiée, faute de quoi elle ne sera pas comptée ;
 La clarté de la rédaction est un élément important dans l'appréciation des copies ;
 Les calculatrices non-programmables sont autorisées à titre strictement personnel.
Partie I –   – Algèbre linéaire
Exercices 1 :
Soient Am et  deux matrices carrées d’ordre 3 données par :
=0 1 1
2 1
2 1 2  =311
6 2 2
622
1. Selon le paramètre , calculer (), le rang de la matrice  ;
2. Nous posons = 2, Montrez que 2 et  sont des diviseurs de zéro.
Exercice 2 :
Nous considérons la base canonique =1,2,3,4 de 4. Les deux matrices carrées 4 et
04 sont respectivement la matrice unité et la matrice nulle d’ordre 4. Soit  l’endomorphisme
défini dans 4 par :
1=1,0, 1,0 ; 2=0,1,0, 1 ; 3=1,0,1,0 4=0, 1,0,1
1. Donnez l’écriture analytique de  ;
2. Soit =(/), la matrice associée à  relativement aux bases canoniques.
a. Déterminez  ;
b. Déduisez-en , le rang de l’endomorphisme  ;

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c.  est-il un automorphisme de 4 ?
d. Posons =4. Calculez  puis 2016 .
3. Soient 1 et 2 deux sous-espaces de 4 :
1= {4  = 04}
2=,,+,+ ,,,
a. Montrez que 1 et 2 sont deux sous-espaces vectoriels de 4;
b. Montrez que 12=4.
Partie II –   – Mathématiques Financières
Exercice 1 :
Définissez les taux équivalents.
Exercice 2 :
La valeur actuelle des versements trimestriels de 5 000 DH pendant 4 ans est 60 000 DH.
1. Quel est le taux d'intérêt trimestriel appliqué ?
2. Quel est le taux d'intérêt annuel équivalent ?
Nous donnons :
pour = 3 %  11 + 16
=12.5611
et pour = 4 % 11 + 16
=11.6523
Bonne Chance

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Partie I – Algèbre linéaire
Solution 1:
1. Considérons les deux matrices carrées d’ordre 3, Am et  :
=0 1 1
2 1
212  =311
6 2 2
622
Selon le paramètre , calculons () : on sait que 3. Calculons le déterminant
de la matrice  : =0 1 1
2 1
212=1 1
1 221 1 2 1=+ 2
Ainsi, = 0 2= 0  = 2
Si 2 alors 0 et donc = 3
Si = 2 alors 2= 0 et donc 22. Comme 0 1
2 20 alors 2= 2.
2. Nous posons = 2, soit donc 2=0 1 1
2 2 1
2 1 2
Calculons le produit 2 :
2 =0 1 1
2 2 1
212311
6 2 2
622=0 0 0
0 0 0
0 0 0
 2=311
6 2 2
6220 1 1
2 2 1
212=0 0 0
0 0 0
0 0 0
Comme 203, 03 et 2 = 03, alors les deux matrices 2 et  sont des diviseurs de
zéro.
Solution 2 :
Nous considérons la base canonique =1,2,3,4 de 4. Les deux matrices carrées 4 et 04 sont
respectivement la matrice unité et la matrice nulle d’ordre 4. Soit  l’endomorphisme défini dans
4 par :
1=1,0, 1,0 ; 2=0,1,0, 1 ; 3=1,0,1,0 4=0, 1,0,1
1. Donnons l’écriture analytique de  :
(,,,) = 1+2+3+4
=1+2+3+4
=1,0, 1,0+0,1,0, 1+1,0,1,0+0, 1,0,1
=,,+,+
2. Soit =(/), la matrice associée à  relativement aux bases canoniques.
=(/) = 1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
01 0 1 
a. Déterminons  :
,,, ,,,= (0,0,0,0)
,,+,+= (0,0,0,0)
 =  =
Ainsi,

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=,,,4 ,,,= (0,0,0,0) 
=,,, , 
=1,0,1,0 , 0,1,0,1
Les deux vecteurs sont indépendants. Donc dim= 2.
b. Nous déduisons , rang de l’endomorphisme  : on sait d’après le théorème de la
dimension : = dim= dim4dim= 4 2 = 2
Méthode directe :
1=(/)=1 0 1 0
0101
1 0 1 0
01 0 1 4
Comme la colonne 1 et la colonne 3 sont opposés alors :
1 0 1 0
0101
1 0 1 0
01 0 1 = 0
alors 1 3. Or,
1 0 1
0 1 0
1 0 1 =01 0
0 1 0
1 0 1=01 0
1 0 1
1 0 1 =01 0
1 0 1
0 1 0 == 0
À chaque fois deux lignes ou deux colonnes opposés. Donc, 1 2. Comme 1 0
0 1=
10, alors  = 2.
c.  n’est pas un automorphisme de 4 puisque  est non bijective du fait que  = 2 
4 ou encore 04
d. Calculons  puis 2016 .
=4=0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
01 0 0 
2=0 0 1 0
0001
1 0 0 0
01 0 0 2
=1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1= I4
2016 =2108 = I4108 =4
3. Soient 1 et 2 deux sous-espaces de 4
1= {4  = 04}
2=,,+,+ ,,,
a. Montrons que 1 et 2 sont deux sous-espaces vectoriels de 4
1= {4  = 04}
=,,,4 ,,,= (0,0,0,0) 
=
2=,,+,+ ,,,
=,,, ,,, 
=
Ainsi, 1= est un sous espace vectoriel de 4 et 2= est aussi un sous espace
vectoriel de 4.

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b. Montrons que 12=4.
On sait d’après un résultat du cours que =2 et =1 sont supplémentaires sur 4.
D’où, 12=4.
Partie II – Mathématiques Financières
Solution 1 : Les taux équivalents : deux taux définis pour des périodes de capitalisation différentes
sont équivalents s’ils produisent la même valeur acquise quand ils sont appliqués au même capital. Si
le taux de la période est , et si la période est divisée en  sous-périodes, le taux équivalent  pour une
sous période est celui qui assure l’égalité des capitaux acquis au bout de la période, ainsi 1 + =
1 +  Autrement dit, =1 + 
1
Par exemple, si
  : taux annuel
  : le nombre de sous-périodes dans une année
 si la période de capitalisation est annuelle, alors = 1 ;
 si la période de capitalisation est semestrielle, alors = 2 ;
 si la période de capitalisation est trimestrielle, alors = 4 ;
 si la période de capitalisation est mensuelle, alors =12 ;
 si la période de capitalisation est hebdomadaire, alors =52 ;
 si la période de capitalisation est journalière, =360.
  : taux équivalent par période
 =1 + 
21 =1 +  41 =1 +  12 1
Solution 2 : La valeur actuelle des versements trimestriels de 5000,00 DH pendant 4 ans est de 60
000,00 DH. Quel est le taux d'intérêt trimestriel appliqué ? Quel est le taux d'intérêt annuel
équivalent ?
On pose :
= 60 000.00 DH, =16 trimestres, = 5 000.00  et  ==? %.
Par simple application de la formule :
=11 + 
  11 +  = 
Application numérique :
11 + 16
=60 000.00 5 000.00 =12
pour i = 3 % on a 11+i16
i=12.5611 et pour i = 4 % on a 11+i16 i=11.6523
Ainsi, par interpolation linéaire on trouve :
4 3
11.6523 12.5611 =3 12 12.5611
 =12 12.5611
11.6523 12.5611 (4 3) + 3
 =3.62 %
Ainsi, le taux annuel équivalent  sera donc,
1 + =1 + 4  =1 + 41
=1 + 3.62
100 41 = 0.1529 =15.29 %