I Fonction réciproque d`une fonction II Logarithme népérien

Chapitre 9 : La fonction logarithme népérien
TS
I
2012-2013
Fonction réciproque d’une fonction
1. Définition
I et J sont des intervalles de R. f est une bijection de I sur J signifie que :
"Pour tout y de J, il existe un unique x ∈ I tel que y = f (x)."
→ exemples
• f : x 7−→ x2 définie sur [0; 3] est une bijection de [0; 3] sur [0; 9].
• f : x 7−→ x2 définie sur [−3; 3] n’est pas une bijection. (en effet, par exemple −3 et 3 ont la même image.
f
x
x∈I
Si f est une bijection de I sur J, il existe une fonction définie sur
J, notée f −1 , appelée fonction réciproque de f :
y
···
y∈J
y = f (x)
⇔
x∈I
···
···
y
=
x
2. Représentation graphique d’une fonction réciproque
b
Résultat : Dans un repère orthonormal, les courbes
représentatives de f et de f −1 sont symétriques par
rapport à la droite ∆ d’équation y = x.
~j
O ~i
Cf
b
II
Logarithme népérien
x
Au chapitre 6, nous avons vu que la fonction exponentielle (exp : x 7−→ e ) est continue, strictement croissante
sur R. Ainsi grâce au théorème vu au chapitre 3, exp réalise une bijection de R sur ]0; +∞[. D’après le paragraphe
précédent, elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +∞[.
1. Définition
La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est notée ln. Elle
est définie sur ]0; +∞[.
y = ln x
x = ey
⇔
x ∈]0; +∞[
y réel
→ Conséquences :
1. ln 1 = 0 car e0 = 1 ; ln e = 1 car e1 = e ; ln
1
1
= −1 car e−1 =
e
e
2. Pour tout x ∈ R, ln ex = x et pour tout x ∈]0; +∞[, eln x = x
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2. Représentation graphique et limites
Les courbes représentatives de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x, ce qui
donne :
y
=
x
Cexp
e
b
Cln
1
b
Les limites à retenir et déduites de celles de la fonction
exponentielle par symétrie :
b
~j
∗
b
O ~i
1
e
lim ln x = −∞
x→0
lim ln x = +∞
∗
x→+∞
∗
lim
x→+∞
ln x
=0
x
3. Propriétés
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier relatif n, on a :
• ln ab = ln a + ln b ; • ln
√
1
a
1
= − ln b ; • ln = ln a − ln b ; • ln an = n ln a ; • ln n a = ln a (n > 1)
b
b
n
→ Exemple : Exprimer en fonction de ln 2 et de ln 3 les nombres A = ln 36 et B = ln 2.25
4. Sens de variation et signe
On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ (et donc continue sur cet intervalle ! chapitre 3)
Pour x ∈]0; +∞[, on considère la fonction u : x 7−→ exp(ln x).
u est-elle dérivable sur ]0; +∞[ ?
En remarquant que u(x) = x, en déduire la dérivée de la fonction ln pour x > 0.
→ Théorème : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout x > 0, ln′ (x) =
→ Conséquences immédiates :
• La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[ car pour tout x > 0 ln′ (x) =
1
x
1
> 0.
x
• ln x = ln y ⇔ x = y ;
• ln x < ln y ⇔ x < y ;
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→ Signe de ln x :
• ln x = 0 ⇔ x = 1 ;
• ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ;
• ln x > 0 ⇔ x > 1 .
→ Utilisation des propriétés précédentes pour la résolution d’équations et d’inéquations comporatnt des "ln" :
On considère l’équation (E) : ln(x2 + 4x + 3) = ln(x + 7) .
⋆ Quel est l’ensemble de définition de cette équation ?
(E) a d’éventuelles solutions ⇔
···
···
On considère l’inéquation (I) : ln(3x − 1) 6 2
5. Dérivée de ln u où u > 0 sur un intervalle I.
→ Théorème : Soit u une fonction dérivable sur I et pour tout x de I, u(x) > 0.
La fonction ln u est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I, (ln u)′ (x) =
u′ (x)
u(x)
→ Exemple : Soit h : x 7−→ ln(4 − x2 ). Sur quel intervalle I, h est-elle dérivable ? Calculer h′ (x) pour x ∈ I.
6. Croissance comparée
n > 1. Comparaison de xn et de ln x en +∞ :
ln x
= 0 . A comparer à :
x→+∞ xn
lim
n > 1. Comparaison de xn et de ln x en 0 : lim xn ln x = 0 . A comparer à :
x→0
ex
= +∞ (ch.3)
x→+∞ xn
lim
lim xn ex = 0 (ch.3)
x→−∞
ln x
x→1 x − 1
→ calculs de limite : Calculer lim (x3 − ln x) et lim
x→+∞
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III
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Puissance réelle d’un nombre strictement positif
1. La notation ab (a > 0, b réel)
Définition : Pour tout a > 0, et pour tout réel b, on pose : ab = eb ln a
(a > 0 s’impose par le fait que figure ln a dans l’expression)
2
Remarque : A partir de maintenant, les expressions 2, 71,83 , 40− 3 ,
approchées à la machine.
√
π
2 , ... prennent un sens. On calcule leurs valeurs
Règles de calcul : Pour tous réels a > 0, b > 0 et quels que soient les réels r et s :
1
ar × as = ar+s ; a−r = r ; (ab )c = abc ; ar × br = (ab)r ; ln(as ) = s ln a
a
2. Fonction x 7−→ xα (α réel f ixé) définie sur ]0; +∞[
∗ α quelconque
Théorème : La fonction f : x 7−→ xα (α réel fixé) est dérivable sur ]0; +∞[ et pour tout x > 0, f ′ (x) = αxα−1
Démonstration :
√
Exemple : Déterminer la dérivée de h : x 7−→ x2 x pour x > 0.
∗α=
1
avec n > 0 : Fonction racine n-ième
n
Pour tout x > 0, la fonction f : x −
7 → xn réalise une bijection de ]0; +∞[ sur ]0; +∞[. D’après le paragraphe 1, f admet
√
−1
donc une fonction réciproque f
définie sur ]0; +∞[. Cette fonction est la fonction racine n-ième : x 7−→ n x
Autre notation de la fonction racine n-ième : x > 0 et n > 1 ,
logarithme donc elles sont égales.
Tracés de x 7−→ x3 et de x 7−→
1
x = x n . En effet, ces deux expressions ont le même
x sur ]0; +∞[
y
=
x
Cx 3
√
3
√
n
C√
3x
~j
O ~i
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