I Fonction réciproque d`une fonction II Logarithme népérien

TS Chapitre 9 : La fonction logarithme népérien 2012-2013
I Fonction réciproque d’une fonction
1. Définition
Iet Jsont des intervalles de R.fest une bijection de Isur Jsignifie que :
"Pour tout yde J, il existe un unique x∈Itel que y=f(x)."
→exemples
•f:x7−→ x2définie sur [0; 3] est une bijection de [0; 3] sur [0; 9].
•f:x7−→ x2définie sur [−3; 3] n’est pas une bijection. (en effet, par exemple −3 et 3 ont la même image.
xy
f
···
x∈Iy∈J
Si fest une bijection de Isur J, il existe une fonction définie sur
J, notée f−1, appelée fonction réciproque de f:
y=f(x)
x∈I⇔···
···
2. Représentation graphique d’une fonction réciproque
Résultat : Dans un repère orthonormal, les courbes
représentatives de fet de f−1sont symétriques par
rapport à la droite ∆ d’équation y=x.
O~
i
~
j
y=x
Cf
II Logarithme népérien
Au chapitre 6, nous avons vu que la fonction exponentielle (exp :x7−→ ex) est continue, strictement croissante
sur R. Ainsi grâce au théorème vu au chapitre 3, exp réalise une bijection de Rsur ]0; +∞[. D’après le paragraphe
précédent, elle admet donc une fonction réciproque définie sur ]0; +∞[.
1. Définition
La fonction logarithme népérien est la bijection réciproque de la fonction exponentielle. Elle est notée ln. Elle
est définie sur ]0; +∞[.
y= ln x
x∈]0; +∞[⇔x= ey
y r´eel
→Conséquences :
1. ln 1 = 0 car e0= 1 ; ln e = 1 car e1= e ; ln 1
e=−1car e−1=1 e
2. Pour tout x∈R,ln ex=xet pour tout x∈]0; +∞[, eln x=x
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2. Représentation graphique et limites
Les courbes représentatives de ln et de exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x, ce qui
donne :
O1
e
1
e
~
i
~
j
y=x
Cln
Cexp
Les limites à retenir et déduites de celles de la fonction
exponentielle par symétrie :
∗lim
x→0ln x=−∞
∗lim
x→+∞ln x= +∞
∗lim
x→+∞
ln x
x= 0
3. Propriétés
Pour tous réels aet bstrictement positifs et pour tout entier relatif n, on a :
•ln ab = ln a+ ln b;•ln 1
b=−ln b;•ln a b= ln a−ln b;•ln an=nln a;•ln n
√a=1
nln a(n>1)
→Exemple : Exprimer en fonction de ln 2 et de ln 3 les nombres A= ln 36 et B= ln 2.25
4. Sens de variation et signe
On admet que la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ (et donc continue sur cet intervalle ! chapitre 3)
Pour x∈]0; +∞[, on considère la fonction u:x7−→ exp(ln x).
uest-elle dérivable sur ]0; +∞[ ?
En remarquant que u(x) = x, en déduire la dérivée de la fonction ln pour x > 0.
→Théorème : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0; +∞[ et, pour tout x > 0, ln′(x) = 1
x
→Conséquences immédiates :
•La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[ car pour tout x > 0 ln′(x) = 1
x>0.
•ln x= ln y⇔x=y;
•ln x < ln y⇔x < y ;
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→Signe de ln x:
•ln x= 0 ⇔x= 1 ;
•ln x < 0⇔0< x < 1 ;
•ln x > 0⇔x > 1 .
→Utilisation des propriétés précédentes pour la résolution d’équations et d’inéquations comporatnt des "ln" :
On considère l’équation (E) : ln(x2+ 4x+ 3) = ln(x+ 7) .
⋆Quel est l’ensemble de définition de cette équation ?
(E) a d’éventuelles solutions ⇔···
···
On considère l’inéquation (I) : ln(3x−1) 62
5. Dérivée de ln uoù u > 0 sur un intervalle I.
→Théorème : Soit uune fonction dérivable sur Iet pour tout xde I,u(x)>0.
La fonction ln u est dérivable sur Iet, pour tout x∈I,(ln u)′(x) = u′(x)
u(x)
→Exemple : Soit h:x7−→ ln(4 −x2). Sur quel intervalle I,hest-elle dérivable ? Calculer h′(x) pour x∈I.
6. Croissance comparée
n>1. Comparaison de xnet de ln xen +∞: lim
x→+∞
ln x
xn= 0 . A comparer à : lim
x→+∞
ex
xn= +∞(ch.3)
n>1. Comparaison de xnet de ln xen 0 : lim
x→0xnln x= 0 . A comparer à : lim
x→−∞
xnex= 0 (ch.3)
→calculs de limite : Calculer lim
x→+∞(x3−ln x) et lim
x→1
ln x
x−1
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III Puissance réelle d’un nombre strictement positif
1. La notation ab(a > 0, b r´eel)
Définition : Pour tout a > 0, et pour tout réel b, on pose : ab= ebln a
(a > 0s’impose par le fait que figure ln adans l’expression)
Remarque : A partir de maintenant, les expressions 2,71,83 , 40−2
3,√2π, ... prennent un sens. On calcule leurs valeurs
approchées à la machine.
Règles de calcul : Pour tous réels a > 0, b > 0 et quels que soient les réels ret s:
ar×as=ar+s;a−r=1
ar;(ab)c=abc ;ar×br= (ab)r;ln(as) = sln a
2. Fonction x7−→ xα(α r´eel f ix´e) définie sur ]0; +∞[
∗αquelconque
Théorème : La fonction f:x7−→ xα(αréel fixé) est dérivable sur ]0; +∞[ et pour tout x > 0, f′(x) = αxα−1
Démonstration :
Exemple : Déterminer la dérivée de h:x7−→ x2√xpour x > 0.
∗α=1
navec n > 0: Fonction racine n-ième
Pour tout x > 0, la fonction f:x7−→ xnréalise une bijection de ]0; +∞[ sur ]0; +∞[. D’après le paragraphe 1, fadmet
donc une fonction réciproque f−1définie sur ]0; +∞[. Cette fonction est la fonction racine n-ième : x7−→ n
√x
Autre notation de la fonction racine n-ième : x > 0et n >1,n
√x=x1
n. En effet, ces deux expressions ont le même
logarithme donc elles sont égales.
Tracés de x7−→ x3et de x7−→ 3
√xsur ]0; +∞[
O~
i
~
j
y=x
C3
√x
Cx3
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