Logarithme

Signe de la fonction logarithme
!"
• Si 0 < x < 1 alors ln( x ) < 0 .
Si
x > 1 alors ln( x ) > 0 .
Le nombre e
!"
• Le nombre e est l’unique antécédent du nombre 1 par la fonction
logarithme népérien, d’où : ln( e ) = 1 .
−2
près .
• e ≈ 2,71 à 10
III. Propriétés
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et
• ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 .
• ln( ab ) = ln( a ) + ln( b ) .
n∈Z .
ln(a n ) = n ⋅ ln(a ) ; ln( a ) =
∀x ∈ I ,
f ( x ) = ln(u( x ))
• La croissance relative instantanée de
f en a, est le nombre :
f ' (a )
f (a + h ) − f (a )
= lim
.
f (a ) h→0
h ⋅ f (a )
V. Un exemple d’étude de fonction logarithme
(Bac 2000)
Soit la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par : f ( x ) =
x² 3
( − ln x) , on
2 2
désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
→
→
repère orthonormal (o, i , j ) .
lim f ( x ).
x → +∞
Réponse
!"
1. Pour calculer la limite de f, on calcule la limite de chaque terme
du produit :
est dérivable sur I, on a :
u'( x)
u( x)
u'
u
1. Déterminer
2. Calculer f’(x).Donner le tableau de variation de f.
1
a
• ln   = ln( a ) − ln( b ) , ln   = − ln (b ).
b
b
1
ln(a) .
•
x²
3

lim
= +∞ et lim  − ln x  = −∞ donc par produit
x → +∞
2
2

lim f ( x ) = −∞ .
x → +∞
2
x → +∞
IV. Dérivée logarithmique
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement
positive sur I. La fonction f définie par :
f '( x) =
.
u'
.
On écrit aussi (ln o u )' = u
• Soit u une fonction ne s’annulant pas sur un intervalle I de R,
dérivable sur I. La fonction
a pour primitives sur I
ln u + k avec k ∈ R.
2. Pour calculer f’ , on utilise la dérivée d’un produit u x v :
Avec u ( x ) = x ² / 2 et v ( x ) = (3 / 2 − ln x )
Leurs dérivées sont : u ' ( x ) = 2 x / 2 = x et v ' ( x ) = −1 / x .
On obtient :
2
3
 x  1
f ' ( x ) = x − ln x  +
 −  = x − ln x = x (1 − ln x )
2  x
2

x appartient à [1 ; +∞[, il est positif. On étudie le signe de (1-lnx)
1-lnx>0 ; 1> lnx ; lne >lnx ; e>x ; d ‘après les propriétés
précédentes.(1-lnx) est positif lorsque x est inférieur à e.
d’où le tableau de variation :
x
f’(x)
f(x)
e
0
e²/4
1
+
+∞
-
¾
-∞
Editeur : Memopage.com SA ©
Auteur : Nicolas Montétagaud
lim ln( x ) = +∞ ; lim + ln( x ) = −∞ .
x→ 0
ln( x )
ln( x )
= 0 , ( n ∈ N* ) .
lim
= 0 ; lim
• x → +∞
x → +∞
xn
x
•
Date : juin 2002
ISSN : 1762 – 5920
Expert : C. V.
x → +∞
On a les limites suivantes :
Limites
!"
ln( a ) > ln( b)
⇔ a> b
strictement croissante sur ]0;+∞ [.
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs :
ln( a ) = ln( b ) ⇔ a= b
On peut alors conclure que la fonction logarithme népérien est
ln' ( x ) =
1
x
La fonction ln est définie et dérivable sur ]0;+∞ [ et a pour dérivée
( par définition) :
Sens de variation
!"
II. Etude de la fonction logarithme népérien
• On a ainsi pour tout x strictement positif : ln( x ) = ∫1
x
u
.
du
• La fonction logarithme népérien est définie sur ]0;+∞ [ .
• La fonction logarithme népérien (notée ln) est la primitive sur
]0;+∞[ de la fonction ( x → 1x ) qui s’annule en x = 1 . ln 1=0
I. Définitions
Logarithme
népérien (STT Gestion)