Logarithme

Logarithme
népérien (STT Gestion)
I. Définitions
• La fonction logarithme népérien (notée ln) est la primitive sur
][
+∞;0 de la fonction )
1
(x x→ qui s’annule en 1
=x. ln 1=0
• La fonction logarithme népérien est définie sur
][
+∞
;0 .
• On a ainsi pour tout x strictement positif : ∫
=x
u
du
x1
)ln( .
II. Etude de la fonction logarithme népérien
!"
Sens de variation
La fonction ln est définie et dérivable sur
][
+∞
;0 et a pour dérivée
( par définition) :
x
x1 )(ln' =
On peut alors conclure que la fonction logarithme népérien est
strictement croissante sur
][
+∞
;0 .
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs :
)ln()ln( ba = ⇔ ba=
)ln()ln( ba > ⇔ ba>
!"
Limites
On a les limites suivantes :
• +∞=
+∞→ )ln(lim x
x ; −∞=
+
→)ln(lim
0x x.
• 0
)ln(
lim =
+∞→ xx
x ; 0
)ln(
lim =
+∞→ n
xxx , ( ∈
n N* ) .
!"
Signe de la fonction logarithme
• Si 10 << x alors 0)ln( <
x .
Si 1
>
x alors 0)ln( >
x .
!"
Le nombre e
• Le nombre e est l’unique antécédent du nombre 1 par la fonction
logarithme népérien, d’où : 1)ln( =e.
• 71,2≈e prèsà2
10−.
III. Propriétés
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et Zn∈.
• 0)1ln( = ; 1)ln( =
e.
• )ln()ln()ln( baab += .
• )ln()ln(ln ba
b
a−=
 ,
()
b
bln
1
ln −=
.
• )ln()ln( anan⋅= ; )ln(
2
1
)ln( aa =.
IV. Dérivée logarithmique
• Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R, strictement
positive sur I. La fonction f définie par :
Ix∈∀ , ))(ln()( xuxf = est dérivable sur I, on a :
)( )('
)(' xu xu xf = .
On écrit aussi u
u
u' )'(ln =o .
• Soit u une fonction ne s’annulant pas sur un intervalle I de R,
dérivable sur I. La fonction u
u' a pour primitives sur I
ku + ln avec ∈
k R.
• La croissance relative instantanée de f en a, est le nombre :
)( )()(
lim
)( )('
0afh afhaf
af af
h⋅−+
=→.
V. Un exemple d’étude de fonction logarithme
(Bac 2000)
Soit la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par : )ln
2
3
(
2²
)( x
x
xf −= , on
désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
repère orthonormal ),,( →→ jio .
1. Déterminer ).(lim xf
x+∞→
2. Calculer f’(x).Donner le tableau de variation de f.
!"
Réponse
1. Pour calculer la limite de f, on calcule la limite de chaque terme
du produit :
+∞=
+∞→ 2
²
lim x
x et −∞=
−
+∞→ x
xln
2
3
lim donc par produit
−∞=
+∞→ )(lim xf
x.
2. Pour calculer f’ , on utilise la dérivée d’un produit u x v :
Avec 2/²)( xxu = et )ln2/3()( xxv −=
Leurs dérivées sont : xxxu == 2/2)(' et xxv /1)(' −= .
On obtient :
)ln1(ln
1
2
ln
2
3
)(' 2xxxx
x
x
xxxf −=−=
−+ −=
x appartient à [1 ; +∞[, il est positif. On étudie le signe de (1-lnx)
1-lnx>0 ; 1> lnx ; lne >lnx ; e>x ; d ‘après les propriétés
précédentes.(1-lnx) est positif lorsque x est inférieur à e.
d’où le tableau de variation :
x 1 e +∞
f’(x) + 0 -
f(x) e²/4
¾ -∞
Editeur : Memopage.com SA © Date : juin 2002 ISSN : 1762 – 5920
Auteur : Nicolas Montétagaud Expert : C. V.