TS. fonctions logarithmes

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Chapitre 4 : Fonctions logarithmes
I. Logarithme népérien d’un nombre
Propriété : pour tout nombre réel a strictement positif, il existe un réel unique α tel que e
α
= a .
On appelle ce nombre : le logarithme népérien de a . On le note ln a .
preuve :
Ex :
Conséquences :
. ln 1 = 0 et ln e = 1
. pour tout nombre réel a strictement positif, e
ln a
= a
. pour tout nombre réel a , ln ( e
a
) = a
Propriété : pour tous nombres réels a et b strictement positifs : ln ab = ln a + ln b
preuve :
Conséquences :
. pour tous nombres réels a et b de l’intervalle
]
[
0 ; +
∞
: ln
a
b
= ln a – ln b
. pour tout nombre réel a de l’intervalle
]
[
0 ; +
∞
: ln
1
a
= – ln a et ln
a
=
1
2
ln a
. pour tout nombre réel a de l’intervalle
]
[
0 ; +
∞
et tout nombre rationnel r : ln a
r
= r ln a
Ex :

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II. Fonction logarithme népérien
preuve :
Remarque :
Définition : on appelle fonction logarithme népérien la fonction, notée ln , qui à tout x de l’intervalle
]
[
0 ; +
∞
associe ln x .
Remarque : on écrit ln x au lieu de ln(x) en omettant les parenthèses lorsqu’il n’y a pas d’équivoque .
Propriété : la fonction ln est dérivable sur l’intervalle
]
[
0 ; +
∞
preuve :
Propriété :
x 1
ln x
lim
x 1
→
−
= 1 et
(
)
x 0
ln x + 1
lim
x
→
= 1
. Pour tout réel h assez proche de zéro, on a : ln ( 1 + h )
≃
h
preuve :

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Propriété :
x
lim ln x = +
→+∞
∞
x 0
lim ln x =
→
− ∞
Remarques :
Conséquences :
Ex :
Fonction ln u :
soit u une fonction définie sur un intervalle I . Si u est dérivable, strictement positive sur I
alors la fonction ln u est dérivable sur I et :
( )
'
ln '
u
u
u
=
Ex :
Soit f définie sur R par f (x) = ln ( x
2
+ 1 )
f est dérivable sur R et on a : f ’(x) = 2
2x
x 1
+

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III. Comportements asymptotiques comparés
Propriété :
x
ln x
lim = 0
x
→+∞ x 0
lim x.ln x = 0
→
preuve :
Conséquences :
Pour tout nombre entier n strictement positif :
x
ln x
lim = 0
x
n
→+∞
x 0
lim x .ln x = 0
n
→
Remarques :
preuve :

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IV. Fonctions exponentielles de base a
Définition : pour tout nombre réel a strictement positif et tout nombre réel b , on pose :
ln
b b a
a e
=
==
=
Propriété :
Définition : soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1 .
On définit sur R la fonction
x
x
a
֏
֏֏
֏
par
x x ln
a
a e
=
==
=
On l’appelle fonction exponentielle de base a .