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TS1 année 2012/2013
mathématiques
CHAPITRE 8
La fonction logarithme népérien (ln)
I – Existence de la fonction logarithme népérien.
1- Définition du logarithme d'un nombre réel strictement positif.
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur IR et à valeurs dans IR+*
Soit a un réel tel que a > 0. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction exp , il
existe un et un seul réel b tel que exp(b) = a .
DEF : pour tout nombre réel a > 0 , on appelle ln(a) l'unique nombre réel tel que exp(ln(a)) = a.
b
e =a si et seulement si b = ln(a).
Ainsi :
2- La fonction ln.
En vertu de ce qui précède on peut attribuer à tout réel x > 0 un nombre tel que exp(ln(x)) = x
La fonction qui à x associe ln(x) s'appelle la fonction logarithme népérien.
Elle est définie sur IR+* et à valeurs dans IR.
Cette fonction est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle existe puisqu'on a supposé l'existence de la
fonction exponentielle. Nous verrons plus tard grâce aux primitives comment prouver correctement l'existence des deux
fonctions.
3-Propriétés algébriques
REGLES DE CALCUL (à bien connaître).
b
e =a <=> b = ln(a)
•
Soit a >0 :
•
ln(1) = 0
•
si
si
•
Si a >0 et b > 0 :
ln(e) = 1
0<a<1
1<a
alors
alors
ln(2) ≈ 0,693 (valeur d'usage assez fréquent)
ln(a) < 0
ln(a) > 0
ln (a b)=ln (a)+ln(b)
a
ln ( )=ln(a)−ln (b)
b
1
ln ( )=−ln (a)
a
(1)
(2)
(3)
Le logarithme transforme un produit en somme, un quotient en différence et l'inverse en l'opposé.
•
dem (1) :
Soient a et b deux réels strictement positifs. Il existe deux nombres réels c et d tels que
d
e =b . Par propriété de la fonction exponentielle on a : e
c
d
c +d
ln (a b)=ln (e . e )=ln(e )=c+ d .
Or c = ln(a) et d = ln(b) donc : ln (a b)=ln (a)+ln(b)
ROC
c+d
c
=e .e
• dem (3) :
On applique la règle (1) avec b = 1/a
1
1
ln (a b)=ln (a)+ln(b) donne ln (a . )=ln (a)+ln ( ) donc
a
a
1
ln (1)=0=ln(a)+ln ( ) , ce qui donne la propriété (3)
a
• dem (2)
On applique la propriété (1) en changeant b en 1/b. On obtient :
1
1
ln (a . )=ln(a)+ln ( )=ln(a)−ln(b) d'après (3)
b
b
d
donc :
c
e =a et
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•
mathématiques
n
Soit n est un entier naturel :
ln (a )=n ln (a) (Cette propriété est encore vraie si n est un entier relatif).
( la démonstration se fait facilement par récurrence en utilisant la règle (1) – exercice : faites la)
•
Soit n un entier naturel non nul :
•
soit a > 0
1
n
1
1
ln (a )= ln (a) (en particulier ln ( √ a)= ln (a) )
n
2
ln(a)
e =a
b
ln (e )=b
soit b un réel quelconque :
II- Etude de la fonction ln.
•
Courbe (obtenue par symétrie de la courbe de la fonction exponentielle par rapport à la première diagonale)
•
Continuité.
Comme la fonction ln est définie comme la réciproque de la fonction exp qui est continue, ln est continue sur son
ensemble de définition ]0 ; + ∞[.
• Limites aux bornes de l'ensemble de définition
Par utilisation des limites connues de la fonction exp, on en déduit :
lim ln( x)=−∞
et
x →0, x>0
•
lim ln ( x)=+∞
x →+∞
Dérivabilité.
La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et
ROC
ln( x)
dem : La relation e
calculer la dérivée de ln.
On pose u(x) = ln(x).
La dérivée de la fonction
ln ' ( x)=
1
x
pour x > 0.
u
=x et la formule de dérivation : (e )'=u ' e
e
ln( x)
pour x > 0 est :
u ' ( x)e
u (x )
u
=u ' ( x)e
nous permettent de
ln(x )
=u' ( x)×x .
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Or
mathématiques
e
ln( x)
=x donc la dérivée de e
ln( x)
est aussi la dérivée de la fonction x → x .
ln x
u ' ( x)× x=(e )' =1 et par conséquent : u ' ( x)=
On obtient donc :
1
x
• Sens de variations
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ puisque sa fonction dérivée est strictement positive sur cet
intervalle.
On en déduit que
0 < a < b => ln(a) < ln(b)
III – Quelques compléments...
1- formule de dérivation avec ln.
Soit u une fonction dérivable sur son ensemble de définition et telle que u(x) est toujours strictement positif.
Alors la fonction ln o u est dérivable et pour tout x appartenant à l'ensemble de définition de u :
(ln(u( x)))' =
u ' ( x)
u( x)
2- Une limite utile.
lim
•
x →0, x>0
ln( x+1)
=1
x
dem (ROC ?) : La fonction ln est dérivable en 1. Son nombre dérivé au point 1 est égal à ln'(1) = 1/1 =1.
Par définition du nombre dérivée de ln en 1 on peut dire que
lim
x →0, x> 0
ln ( x+1)
ln ( x+1)−ln (1)
= lim
=ln ' (1)=1
x
( x+1)−1
x →0, x >0
3- Croissance comparée avec les fonctions puissances.
lim
•
•
x →+∞
ln ( x)
=0
x
pour tout entier naturel n non nul :
lim
x →+∞
ln ( x)
n =0
x
ln( x)
ROC
Dem : Soit x un nombre réel positif alors : e =x
ln( x) ln( x)
On a donc :
= ln(x ) .
x
e
ln ( x) ln( x) X
Posons X = ln(x) on obtient :
= ln (x ) = X .
x
e
e
Or quand x → + ∞, ln(x) → + ∞ donc X → + ∞ .
X
X
e
Or on sait que lim
=+∞ donc lim X =0 par quotient de limites.
X →+∞ X
X →+∞ e
ln ( x)
=0 par composition de limites.
x
x →+∞
L'extension à la deuxième limite s'obtient par produit de limites en décomposant la
ln( x) ln( x)
1
fonction sous la forme :
× n−1 pour n > 1.
n =
x
x
x
Par conséquent :
lim