Corrections - XMaths

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Logarithme Népérien
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Corrections
Exercice 22
1°) g est définie sur [1 ; +∞[ par g(x) = x
2
- 1 + ln(x).
On sait que la fonction ln est croissante sur ]0 ; +∞[, donc pour x ³ 1 on a ln(x) ³ ln(1) donc ln(x) ³ 0
D'autre part, pour x ³ 1 on a x
2
- 1 ³ 0 (car la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[).
On en déduit que g(x) ³ 0 pour tout x ³ 1. Donc g est positive sur [1 ; +∞[.
2°) a) f est définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x - ln(x)
x .
f est dérivable sur [1 ; +∞[ et on a f'(x) = 1 -
1
x
x x - ln(x) x 1
x
2
= 1 - 1 - ln(x)
x
2
= x
2
- 1 + ln(x)
x
2
Pour tout x de [1 ; +∞[ on a f'(x) = g(x)
x
2
.
b) Sachant que pour tout x ∈ [1 ; +∞[ g(x) ³ 0 et que x
2
> 0 , on a f'(x) ³ 0.
On en déduit que f est croissante sur [1 ; +∞[.
c) Pour tout x ∈ [1 ; +∞[ on a f(x) - x = - ln(x)
x .
Pour x ³ 1 on a ln(x) ³ 0 et x > 0 ; on en déduit que - ln(x)
x £ 0 .
Par conséquent f(x) - x £ 0 c'est-à-dire f(x) £ x .
On en déduit que la courbe ( C ) se trouve au-dessous de
la droite D d'équation y = x.
NB : On peut vérifier le résultat en traçant la courbe ( C ) et
la droite D avec une calculatrice.
3°) a) Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2,
M
k
est le point d’abscisse k de ( C ) , donc M
k
a pour ordonnée f(k) car ( C ) a pour équation y = f(x).
N
k
est le point d’abscisse k de D , donc N
k
a pour ordonnée k car D a pour équation y = x.
La distance M
k
N
k
est donc égale à | f(k) - k |.
Comme on sait que ( C ) est au-dessous de D, on a
M
k
N
k
= | f(k) - k | = k - f(k) = k - k - ln(k)
k donc M
k
N
k
= ln(k)
k pour tout entier k ³ 2.
On sait que
x →
+∞
lim ln(x)
x = 0 donc
k →
+∞
lim ln(k)
k = 0 c'est-à-dire
k →
+∞
lim M
k
N
k
= 0 .
b) L'algorithme ci-contre permet de déterminer le plus petit entier
k
0
supérieur ou égal à 2 tel que la distance M
k
N
k
soit inférieure
ou égale à 10
-2
NB : L'algorithme est réalisé avec Algobox pour lequel la
fonction logarithme népérien est notée log (c'est une notation
inhabituelle en mathématiques mais courante dans les langages
de programmation)