Une fonction dérivable en a est continue en a. - CES Saint

Une fonction dérivable en a est
continue en a.
démonstration
Démontrons qu ’une fonction dérivable en a est continue en a.
f ( x)  f (a)
f ( x)  f (a ) 
.( x  a)
xa
D ’où: lim f ( x )  f ( a )  lim
a
a
f ( x)  f (a)
. lim ( x  a )
a
xa
Tenant compte que: • f est dérivable en a;
f ( x)  f (a)
est donc le nombre réel f ’(a)
lim
a
xa
• lim ( x  a )  0
a
L ’égalité (1) devient lim f ( x)  f (a ).
a
Elle exprime que la fonction f est continue en a.
Nous énoncerons:
Une fonction dérivable en a est continue en a.
(1)
Cependant, la réciproque de cette propriété est
fausse.
Montrons, sur un contre-exemple que la réciproque de cette
propriété est fausse.
2
1
0
-2
-1
0
-1
-2
1
2
Considérons la fonction
x.
·La fonction x est continue en 0.
·Proposons-nous de calculer la dérivée de la fonction x en 0.
Le taux d ’accroissement de
lim
0
lim
0
x 0
x0
x 0
x0

x
x

x
en 0 est la fonction définie par
1
Si x<0
-1
Si x >0
n ’existe pas
La fonction x n ’est donc pas dérivable en 0.
Une fonction continue en a n ’est pas nécessairement
dérivable en a.
Emilie Bottelier