Une fonction dérivable en a est continue en a. - CES Saint

Une fonction dérivable en a est
continue en a.
démonstration

Démontrons qu ’une fonction dérivable en a est continue en a.
).(
)()(
)()( ax
ax afxf
afxf 
D’où:
)(lim.
)()(
lim)()(lim ax
ax afxf
afxf aaa 
(1)
f est dérivable en a;
ax afxf
a
)()(
lim
est donc le nombre réel f ’(a)
0)(lim  ax
a
•
Tenant compte que: •
L’égalité (1) devient
).()(lim afxf
a
Elle exprime que la fonction f est continue en a.
Nous énoncerons:
Une fonction dérivable en a est continue en a.

Cependant, la réciproque de cette propriété est
fausse.

Montrons, sur un contre-exemple que la réciproque de cette
propriété est fausse.
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2

Considérons la fonction
.x
·La fonction
x
est continue en 0.
·Proposons-nous de calculer la dérivée de la fonction
x
en 0.
Le taux d ’accroissement de
x
en 0 est la fonction définie par
x
x
x
x
0
0
lim
0
Si x<0
Si x >0
0
0
lim
0
x
x
n’existe pas
La fonction
x
n’est donc pas dérivable en 0.
Une fonction continue en a n ’est pas nécessairement
dérivable en a.
Emilie Bottelier
1
-1