Fonctions exponentielles et logarithmes

Mathématiques Bac S
Fonctions exponentielles et logarithmes
On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre
qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le
logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle.
1. La fonction exponentielle
Définition
Il existe une nique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle que f  f et f (0) 1.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note exp .
Pour plus de lisibilité on note pour tout x , exp(x)  e x .
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Propriétés
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Par construction, la fonction exponentielle est strictement
croissante sur R. Pour tout réels x, y et tout entier relatif n ,
e0 1
ex  0
e x y  e x . e y
e xy 
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x n
x
e x 
1
ex

xn


lim
h0
eh 1
1
h
Dérivée de la fonction e u
u est 
une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie par: f (x)  eu(x) est dérivable sur I et pour tout
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réel x de I, f (x)  u(x)eu(x) .
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lim 
ex  0
lim 
e x  
x


e   e
Limites
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
ex
ey


exp(x)  e x
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2. La fonction logarithme népérien
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Définition
fonction logarithme népérien, notée ln , est la fonction définie sur 0; qui à tout réel x  0 , associe le réel notée
La
ln(x) dont l’exponentielle est x . Pour tout réel x  0 eln(x)  x . Pour tout réel x ln(e x )  x .
Propriétés
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
La fonction logarithme népérien est strictement croissante
sur 0;. Elle aussi continue et dérivable sur ce même
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intervalle. Pour tout réel x  0 , ln(x) 
1
.
x


Pour tout réels a,b strictement positifs et tout entier relatif n ,
ln(1)  0

ln(ab)  ln(a) ln(b)


a

ln  ln(a)  ln(b)
b 

x
 
ln(an )  n ln(a)

Limites
lim ln(x)  
1 
ln  ln(a)
a 
1
ln a  ln(a)
2
ln(x)  
lim
x0
lim
h0
ln(1 h)
1
h

Dérivée de la fonction ln u
u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction ln u est dérivable sur I et
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u
.
u 
ln u 

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3. Interprétation géométrique
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y  x .