Fonctions exponentielles et logarithmes

Mathématiques Bac S
Fonctions exponentielles et logarithmes
On voit ici les propriétés de deux fonctions fondamentales : l’exponentielle et le logarithme. Il faut bien comprendre
qu’il y a différentes manières de définir l’exponentielle mais que ces définitions sont équivalentes entre elles. Le
logarithme étant la réciproque de l’exponentielle, ses propriétés découlent de celles de l’exponentielle.
1. La fonction exponentielle
Définition
Il existe une nique fonction
f
dérivable et strictement positive sur R telle que
f f
et
f(0) 1
.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note
exp
.
Pour plus de lisibilité on note pour tout
x
,
exp(x)ex
.
Propriétés
Par construction, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Pour tout réels
x,y
et tout entier relatif
n
,
e01
ex0
ex  p (x)ex
ex1
ex
exyex.ey
exyex
ey
ex
 nexn
Limites
lim
x ex
lim
x ex0
lim
h0
eh1
h1
Dérivée de la fonction
eu
u
est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction
f
définie par:
f(x)eu(x)
est dérivable sur I et pour tout
réel
x
de I,
f (x) u (x)eu(x)
.
2. La fonction logarithme népérien
Définition
La fonction logarithme népérien, notée
ln
, est la fonction définie sur
0;
qui à tout réel
x0
, associe le réel notée
ln(x)
dont l’exponentielle est
x
. Pour tout réel
x0
eln(x)x
. Pour tout réel
x
ln(ex)x
.
Propriétés
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur
0;
. Elle aussi continue et dérivable sur ce même
intervalle. Pour tout réel
x0
,
l n (x)1
x
.
Pour tout réels
a,b
strictement positifs et tout entier relatif
n
,
ln(1) 0
ln(ab)ln(a)ln(b)
ln 1
a
 ln(a)
ln a
b
ln(a)ln(b)
ln(an)nln(a)
ln a
 1
2ln(a)
Limites
lim
x ln(x)
lim
x0ln(x)
lim
h0
ln(1h)
h1
Dérivée de la fonction
ln u
u
est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction
ln u
est dérivable sur I et
ln u
u
u
.
3. Interprétation géométrique
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont
symétriques par rapport à la droite d’équation
yx
.