Equations et inéquations

Fonctions logarithmes
I) Présentation
La fonction inverse est dérivable sur ℝ+*, il existe donc des primitives de cette fonction sur ℝ+*…
On choisit d'étudier les fonctions f définies et dérivables ℝ+* telles que pour tous réels a et b
strictement positifs on a : f(a  b) = f(a) + f(b).
(Historiquement, la recherche de telles fonctions servait à calculer plus simplement des produits
en les "transformant" en sommes utilisant certaines tables de nombres inventées par John Neper
(1550–1617))
En posant b = 1, on obtient f(a) = f(a) + f(1), d'où f(1) = 0.
En posant b = x (variable appartenant à ℝ+*), on obtient sur ℝ+* : (f(ax)) ' = a  f '(ax)
et (f(a) + f(x)) ' = f '(x)
1
D'où f '(ax) = f '(x)
a
Ainsi, pour x = 1 on obtient pour tout a réel strictement positif : f '(a) =
1 .
a
Définition : On appelle fonction logarithme népérien la primitive sur ]0 ; + ∞[ de la fonction inverse. On la
note x  ln (x) ; elle est définie et dérivable sur ℝ+*.
1
Pour tout x > 0, on a ln' (x) = et ln (1) = 0.
x
Valeur remarquable : Il existe un nombre réel, irrationnel, noté e, tel que ln (e) = 1. On a e  2,718.
II) Courbe, variations, limites
Variations et limites :  La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ.
 On a : lim e x = 0 et
lim e x = + ∞.
x–∞
Courbe et tableau de variations :
x+∞
Remarque : Pour tous a et b appartenant à ℝ+* on a : ln (a) = ln (b)  a = b et ln (a) < ln (b)  a < b
Limites admises : On a : lim ln (x) = – ∞
et
x  0+
De plus,  n  ℝ+*, on a :
lim ln (x) = + ∞.
x+∞
lim
ln x 
= 0.
xn
III) Propriétés
Relation fonctionnelle : Soient a > 0 et b > 0 deux réels. On a : ln (a  b) = ln (a) + ln (b) .
a
1
De cette relation découlent plusieurs conséquences :  ln   = ln (a) – ln (b) ; ln   = – ln (b)
b
b
n
  n  ℝ, ln (a ) = n ln (a).
  x  ℝ, x = x  1 = x  ln (e) = ln (e x).
Exemples :  ln (4.x 2) = ln (4) + ln (x 2) = ln (4) + 2 ln (x).
 5x 2 
 = ln (5) + 2 ln (x) – ln (3)
 ln 
 3 
III) Dérivées et primitives
La fonction logarithme népérien est par définition dérivable sur ℝ+*, de dérivée x 
1
.
x
Cas des fonctions composées :
 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par
f(x) = ln (u(x)).
On a alors f dérivable sur I et  x  I : f '(x) =
u' x  .
ux 
 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par
u' x 
f(x) =
.
u x 
Les primitives de f sur I sont de la forme : Fk(x) = ln (u(x)) + k , où k est une constante réelle.
Exemple : Soit f une fonction telle que :  x ℝ+*, f(x) = ln (3x + 2x 2).
3  4x
Alors  x  ℝ, f '(x) =
.
3x  2 x 2
4x
2x
=2 2
.
x 1
x 1
Les primitives de g sont de la forme : Gk(x) = 2 ln (x 2 + 1) + k , où k est une constante réelle.
Soit g une fonction définie et continue sur ℝ telle que : g(x) =
2
IV) Logarithme décimal
Définition : On appelle fonction logarithme décimal, notée log, la fonction telle que pour tout x réel
ln  x 
strictement positif, on a : log (x) =
. On a alors log (1) = 0 et log (10) = 1.
ln 10
Remarque : On conserve toutes les propriétés de la fonction ln, en particulier :
pour tout n  ℤ, log (10 n) = n log (10) = n.
La fonction log est utilisée dans le cas de l'échelle logarithmique.