Equations et inéquations

Fonctions logarithmes
I) Présentation
La fonction inverse est dérivable sur ℝ+*, il existe donc des primitives de cette fonction sur ℝ+*…
On choisit d'étudier les fonctions f définies et dérivables ℝ+* telles que pour tous réels a et b
strictement positifs on a : f(a  b) = f(a) + f(b).
(Historiquement, la recherche de telles fonctions servait à calculer plus simplement des produits
en les "transformant" en sommes utilisant certaines tables de nombres inventées par John Neper
(1550–1617))
En posant b = 1, on obtient f(a) = f(a) + f(1), d'où f(1) = 0.
En posant b = x (variable appartenant à ℝ+*), on obtient sur ℝ+* : (f(ax)) ' = a  f '(ax)
et (f(a) + f(x)) ' = f '(x)
D'où f '(ax) =
a
1
f '(x)
Ainsi, pour x = 1 on obtient pour tout a réel strictement positif : f '(a) =
a
1
.
Définition : On appelle fonction logarithme népérien la primitive sur ]0 ; + ∞[ de la fonction inverse. On la
note x ln (x) ; elle est définie et dérivable sur ℝ+*.
Pour tout x > 0, on a ln' (x) =
x
1
et ln (1) = 0.
Valeur remarquable : Il existe un nombre réel, irrationnel, noté e, tel que ln (e) = 1. On a e  2,718.
II) Courbe, variations, limites
Variations et limites :  La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ℝ.
 On a : lim e x = 0 et lim e x = + ∞.
x  – ∞ x  + ∞
Courbe et tableau de variations :

Remarque : Pour tous a et b appartenant à ℝ+* on a : ln (a) = ln (b)  a = b et ln (a) < ln (b)  a < b
Limites admises : On a : lim ln (x) = – ∞ et lim ln (x) = + ∞.
x  0+ x  + ∞
De plus,  n  ℝ+*, on a : lim
n
xxln
= 0.
III) Propriétés
Relation fonctionnelle : Soient a > 0 et b > 0 deux réels. On a : ln (a  b) = ln (a) + ln (b) .
De cette relation découlent plusieurs conséquences :  ln
b
a
= ln (a) – ln (b) ; ln
b
1
= – ln (b)
  n  ℝ, ln (a n) = n ln (a).
  x  ℝ, x = x  1 = x  ln (e) = ln (e x).
Exemples :  ln (4.x 2) = ln (4) + ln (x 2) = ln (4) + 2 ln (x).  ln
3
x5 2
= ln (5) + 2 ln (x) – ln (3)
III) Dérivées et primitives
La fonction logarithme népérien est par définition dérivable sur ℝ+*, de dérivée x
x
1
.
Cas des fonctions composées :
 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par
f(x) = ln (u(x)).
On a alors f dérivable sur I et  x  I : f '(x) =
xu xu'
.
 Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, soit f la fonction définie sur I par
f(x) =
xu xu'
.
Les primitives de f sur I sont de la forme : Fk(x) = ln (u(x)) + k , où k est une constante réelle.
Exemple : Soit f une fonction telle que :  x ℝ+*, f(x) = ln (3x + 2x 2).
Alors  x  ℝ, f '(x) =
2
x2x3 x43
.
Soit g une fonction définie et continue sur ℝ telle que : g(x) =
1x x4
2
= 2 
1x x2
2
.
Les primitives de g sont de la forme : Gk(x) = 2 ln (x 2 + 1) + k , où k est une constante réelle.
IV) Logarithme décimal
Définition : On appelle fonction logarithme décimal, notée log, la fonction telle que pour tout x réel
strictement positif, on a : log (x) =
10ln
ln x
. On a alors log (1) = 0 et log (10) = 1.
Remarque : On conserve toutes les propriétés de la fonction ln, en particulier :
pour tout n  ℤ, log (10 n) = n log (10) = n.
La fonction log est utilisée dans le cas de l'échelle logarithmique.