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Fonction Logarithme Népérien
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Remarques
Définition :
On appelle fonction Logarithme Népérien la fonction notée « ln » définie par :
ln: 0,  
x

x
1
dx
.
x
La fonction ln est ainsi la primitive de la fonction x
1
sur 0, 
x
qui s'annule en 1.
conséquences :
1
 0. La fonction ln est ainsi continue
x
et strictement croissante sur 0,  ; il en découle que :
Comme x  0 alors ln '(x) 
 ln(1)  0. Il existe un nombre unique e tel que ln e  1.
 e  2, 718...
 pour tous réels positifs a et b on a:
 a  b  ln(a)  ln(b).
 a  b  ln(a)  ln(b).
 0  a  1  ln(a)  0.
 a  1  ln(a)  0.
Propriétés algébriques :
Pour tous réels positifs a et b on a:
 ln(ab)  ln(a)  ln(b)
1
 ln( )  ln(a)
a
a
 ln( )  ln(a)  ln(b)
b
 ln(an )  n.ln(a) , n 
1
 ln( a)  ln(a)
2
1
 ln( n a)  .ln(a)
n
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Fonction Logarithme Népérien
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Limites :
 lim lnx   
x 
 lim lnx   
x 0
 lnp x 
 lim  q   0 , p et q des entiers naturels non nuls.
x 
 x 
 lim  xp lnq x   0
x 0
 lnx 
 ln(1  h) 
 lim
 1 et donc lim 

 1
x 1 x  1
h0


 h 
 lnx  
En particulier
lim 
 xlnx   0
  0 , et xlim

x 

0
 x 
Dérivée de f(x)=ln(U(x)):
Théorème :
Soit U une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)=ln(U(x)) est dérivable sur I et on a :
f'(x) 
U'(x)
U(x)
Théorème :
Soit f une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)=ln|U(x)| est dérivable sur I et on a :
f'(x) 
U'(x)
U(x)
Corollaire :
Soit U une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I.
Une primitive de la fonction x
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U'(x)
est la fonction: x
U(x)
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ln U(x) .
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Fonction Logarithme Népérien
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Théorème :
La fonction définie par F(x) = x.lnx – x est une primitive de la fonction
définie par f(x) = lnx.
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