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Fonction Logarithme Népérien
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Définition :
On appelle fonction Logarithme Népérien la fonction notée « ln » définie par :
1
0
10
1
1
00
0
x
conséquences
ln: ,
dx
x.
x
La fonction est ainsi la primitive de la fonction x sur ,
x
qui s'annule en .
Comme x alors ln '(x) . La fonction est ainsi continue
x
et strictement croissante
ln
su
:
r , ; il en dé
ln
c
1
01
1
0
1
27
0
0 18
oule que:
. Il existe un nombre unique tel que ln .
pour tous réels positifs a et b on a:
a b ln(a) ln(b).
a b ln(a) ln(b)
ln( ) e
.
a ln(a) .
a ln(a) .
e e , ...
Propriétés algébriques :
1
1
2
1
n
n
Pour tous réels positifs a et b on a:
ln(ab) ln(a) ln(b)
ln( ) ln(a)
a
a
ln( ) ln(a) ln(b)
b
ln(a ) n.ln(a) , n
ln( a) ln(a)
ln( a) .ln(a)
n
Remarques

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Limites :
0
0
10
0
0
0
1
11
1
00
x
x
p
q
x
pq
x
xh
xx
lim lnx
lim lnx
ln x
lim , p et q des entiers naturels non nuls.
x
lim x ln x
lnx ln( h)
lim et donc lim
xh
lnx
En particulier lim , et lim xlnx
x
Dérivée de f(x)=ln(U(x)):
Théorème :
Soit U une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)=ln(U(x)) est dérivable sur I et on a :
U'(x)
f'(x) U(x)
Théorème :
Soit f une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I.
La fonction définie par f(x)=ln|U(x)| est dérivable sur I et on a :
U'(x)
f'(x) U(x)
Corollaire :
Soit U une fonction dérivable et non nulle sur un intervalle I.
Une primitive de la fonction
U'(x)
x est la fonction: x ln U(x)
U(x)
.

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Théorème :
La fonction définie par F(x) = x.lnx – x est une primitive de la fonction
définie par f(x) = lnx.