Fonctions usuelles
Ce document propose des rappels et des compléments sur le cours d’étude de fonctions fait en Lycée. Y sont
abordés des résultats ne figurant plus explicitement au programme du lycée (vous les avez probablement
vus malgré tout), mais nécessaires en classe prépa.
Les définitions et théorèmes qui suivent sont à connaître absolument. Les preuves sont là à titre culturel, il
n’est pas du tout demandé de les apprendre, mais leur lecture ne peut qu’être profitable (surtout après le
premier chapitre sur les fonctions, car plusieurs démonstrations nécessitent des résultats de ce chapitre).
I. Exponentielle
•Théorème-définition (1) (exponentielle)
La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction f dérivable sur telle que f =f′et f (0) =1. On
note :
exp : −→
x7−→ ex
•Remarque : On admet ce théorème, qui repose sur la théorie des équations différentielles (qui ne sont
pas au programme d’ECS). On montre de façon générale, pour a∈fixé, qu’il existe un unique fonction
dérivable vérifiant f′=a f et f(0) =1. C’est x7→ ea x . C’est cette relation fonctionnelle qui motivera, au
chapitre 2, la définition de l’exponentielle complexe.
•Théorème (2) (propriétés fondamentales à retenir !)
– La fonction exp est dérivable, de dérivée exp′=exp, et vérifie e0=1.
–∀x,y∈, ex+y=exey. En particulier : e−x=1
exet ex−y=ex
ey
– Pour tout x ∈, ex>0.
–exp est strictement croissante sur .
– On a : lim
x→−∞ex=0+et lim
x→+∞ex=+∞.
•Preuve de (2)
– Par définition, exp est dérivable sur , de dérivée exp′:x7→ ex, et vérifie e0=1.
– Soit y ∈. Pour tout x ∈, on note f (x)=ex+y. Cette fonction est dérivable sur (par
composition) et ∀x∈, f ′(x)=ex+y. Par ailleurs, f (0) =ey. Ainsi f est proportionnelle à
exp, précisément, pour tout x ∈, f (x)=ey×ex.
En particulier, avec y = −x il vient : 1=e0=ex−x=ex×e−x. Cela montre en particulier que
ex6=0et on peut donc écrire : e−x=1
ex.
Puis avec x et −y : ex−y=exe−y=ex
ey.
– On écrit, pour tout x ∈, ex=ex/2+x/2 =ex/2 ×ex/2 =(ex/2)2>0. Puis, comme ex6= 0, on a :
∀x∈, ex>0.
– La dérivée de exp est : x 7→ exet comme pour tout x ∈, ex>0,exp est strictement croissante
sur .
– On montre que : ∀x>0, ex>x. En effet, soit g la fonction définie sur par la formule :
g(x)=ex−x. Alors par somme, g est dérivable sur et : ∀x∈, g ′(x)=ex−1.
Or, g′(0) =1−1=0. Ainsi, par croissance de exp sur , il vient : ∀x>0, g′(x)>0, ce qui
montre que g est croissante sur +.
On calcule alors g (0) =e0−0=1>0et comme g est croissante, ∀x>0, g (x)>1. En particu-
lier, : ∀x>0, ex>x.
Enfin, par comparaison, ex−−−−−→
x→+∞ +∞.
Pour la limite en −∞, on a : ∀x∈,ex=1
e−x
Comme −x−−−−−→
x→−∞ +∞ et ey−−−−−→
y→+∞ +∞, par composition et passage à l’inverse, il vient
ex−−−−−→
x→−∞ 0+.
II. Logarithme
•Théorème-définition (3) (logarithme)
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp. Elle est définie sur
∗
+et est caractérisée par :
∀x∈∗
+,∀y∈, ln x=y⇐⇒ x=ey
•Preuve de (3)
On utilise un théorème du chapitre sur les fonctions : la fonction exp est continue sur , stricte-
ment croissante sur , vérifie lim
x→−∞ex=0+et lim
x→+∞ex= +∞, donc exp est bijective de dans
∗
+. Il existe donc une bijection réciproque, que l’on peut appeler logarithme et noter ln, qui est
caractérisée par : ∀x∈∗
+,∀y∈, ln x=y⇐⇒ x=ey
•Théorème (4) (propriétés fondamentales à retenir !)
–∀x,y∈∗
+, ln(x y )=lnx+ln y. En particulier : ln 1
x=−ln x et ln x
y=ln x−ln y.
–ln est une fonction strictement croissante sur ∗
+.
– On a : lim
x→0+lnx=−∞ et lim
x→+∞ln x=+∞
– La fonction ln est dérivable sur ∗
+, de dérivée ln′:x7→ 1
x, vérifie ln(1) =0et ln(e)=1.
– On a : ln x>0⇐⇒ x>1
•Preuve de (4)
– Pour tous x,y∈∗
+:
elnx y =x y et elnx+ln y=elnxeln y=x y
Donc : elnx y =elnx+ln ydonc ln x y =ln x+ln y
En particulier, si y =1
x, on a : 0=ln 1 =ln x1
x=ln x−ln 1
xdonc ln 1
x=−ln x
Et : ln x
y=ln x1
y=lnx+ln 1
y=ln x−ln y
– La bijection réciproque d’une fonction strictement croissante est strictement croissante (cha-
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