Fonctions usuelles - Lycée Militaire d`Aix-en

Fonctions usuelles
Ce document propose des rappels et des compléments sur le cours d’étude de fonctions fait en Lycée. Y sont
abordés des résultats ne figurant plus explicitement au programme du lycée (vous les avez probablement
vus malgré tout), mais nécessaires en classe prépa.
Les définitions et théorèmes qui suivent sont à connaître absolument. Les preuves sont là à titre culturel, il
n’est pas du tout demandé de les apprendre, mais leur lecture ne peut qu’être profitable (surtout après le
premier chapitre sur les fonctions, car plusieurs démonstrations nécessitent des résultats de ce chapitre).
I. Exponentielle
•Théorème-définition (1) (exponentielle)
La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction f dérivable sur telle que f =f′et f (0) =1. On
note :
exp : −→
x7−→ ex
•Remarque : On admet ce théorème, qui repose sur la théorie des équations différentielles (qui ne sont
pas au programme d’ECS). On montre de façon générale, pour a∈fixé, qu’il existe un unique fonction
dérivable vérifiant f′=a f et f(0) =1. C’est x7→ ea x . C’est cette relation fonctionnelle qui motivera, au
chapitre 2, la définition de l’exponentielle complexe.
•Théorème (2) (propriétés fondamentales à retenir !)
– La fonction exp est dérivable, de dérivée exp′=exp, et vérifie e0=1.
–∀x,y∈, ex+y=exey. En particulier : e−x=1
exet ex−y=ex ey
– Pour tout x ∈, ex>0.
–exp est strictement croissante sur .
– On a : lim
x→−∞ex=0+et lim x→+∞ex=+∞.
•Preuve de (2)
– Par définition, exp est dérivable sur , de dérivée exp′:x7→ ex, et vérifie e0=1.
– Soit y ∈. Pour tout x ∈, on note f (x)=ex+y. Cette fonction est dérivable sur (par
composition) et ∀x∈, f ′(x)=ex+y. Par ailleurs, f (0) =ey. Ainsi f est proportionnelle à
exp, précisément, pour tout x ∈, f (x)=ey×ex.
En particulier, avec y = −x il vient : 1=e0=ex−x=ex×e−x. Cela montre en particulier que
ex6=0et on peut donc écrire : e−x=1
ex.
Puis avec x et −y : ex−y=exe−y=ex
ey.
– On écrit, pour tout x ∈, ex=ex/2+x/2 =ex/2 ×ex/2 =(ex/2)2>0. Puis, comme ex6= 0, on a :
∀x∈, ex>0.
– La dérivée de exp est : x 7→ exet comme pour tout x ∈, ex>0,exp est strictement croissante
sur .
– On montre que : ∀x>0, ex>x. En effet, soit g la fonction définie sur par la formule :
g(x)=ex−x. Alors par somme, g est dérivable sur et : ∀x∈, g ′(x)=ex−1.
Or, g′(0) =1−1=0. Ainsi, par croissance de exp sur , il vient : ∀x>0, g′(x)>0, ce qui
montre que g est croissante sur +.
On calcule alors g (0) =e0−0=1>0et comme g est croissante, ∀x>0, g (x)>1. En particu-
lier, : ∀x>0, ex>x.
Enfin, par comparaison, ex−−−−−→
x→+∞ +∞.
Pour la limite en −∞, on a : ∀x∈,ex=1
e−x
Comme −x−−−−−→
x→−∞ +∞ et ey−−−−−→ y→+∞ +∞, par composition et passage à l’inverse, il vient
ex−−−−−→
x→−∞ 0+.
II. Logarithme
•Théorème-définition (3) (logarithme)
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp. Elle est définie sur
∗
+et est caractérisée par :
∀x∈∗
+,∀y∈, ln x=y⇐⇒ x=ey
•Preuve de (3)
On utilise un théorème du chapitre sur les fonctions : la fonction exp est continue sur , stricte-
ment croissante sur , vérifie lim
x→−∞ex=0+et lim x→+∞ex= +∞, donc exp est bijective de dans
∗
+. Il existe donc une bijection réciproque, que l’on peut appeler logarithme et noter ln, qui est
caractérisée par : ∀x∈∗
+,∀y∈, ln x=y⇐⇒ x=ey
•Théorème (4) (propriétés fondamentales à retenir !)
–∀x,y∈∗
+, ln(x y )=lnx+ln y. En particulier : ln 1
x=−ln x et ln x
y=ln x−ln y.
–ln est une fonction strictement croissante sur ∗
+.
– On a : lim
x→0+lnx=−∞ et lim
x→+∞ln x=+∞
– La fonction ln est dérivable sur ∗
+, de dérivée ln′:x7→ 1
x, vérifie ln(1) =0et ln(e)=1.
– On a : ln x>0⇐⇒ x>1
•Preuve de (4)
– Pour tous x,y∈∗
+:
elnx y =x y et elnx+ln y=elnxeln y=x y
Donc : elnx y =elnx+ln ydonc ln x y =ln x+ln y
En particulier, si y =1
x, on a : 0=ln 1 =ln x1
x=ln x−ln 1 xdonc ln 1
x=−ln x
Et : ln x
y=ln x1 y=lnx+ln 1 y=ln x−ln y
– La bijection réciproque d’une fonction strictement croissante est strictement croissante (cha-
1/3

Fonctions usuelles
pitre 3), donc ln est strictement croissante sur ∗
+(puisque exp l’est sur ).
– De même, comme ex−−−−−→
x→−∞ 0+donc ln x−−−−→
x→0+−∞et comme ex−−−−−→
x→+∞ +∞donc ln x−−−−−→ x→+∞
+∞.
– La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée ne s’annule pas sur ∗
+. D’après le théorème
de dérivation de la fonction réciproque (chapitre 3), ln est dérivable sur ∗
+et vérifie :
∀x∈∗
+, ln′(x)=1
exp′(ln x)=1
elnx=1
x
On a aussi : e0=1⇐⇒0=ln1 et e1=e⇐⇒1=lne.
– Enfin, comme ln 1 =0et que ln est strictement croissante sur ∗
+, on a : ln x>0⇐⇒ x>
e0⇐⇒x>1.
III. Puissances
•Définition (5)
Soient a ∈∗
+et b ∈. On définit abcomme étant le réel : ebln a.
•Remarques :
– Si b∈∗, alors ebln a=eln a×···×elna
|{z }
bfois =(elna)b=ab: la définition proposée coïncide avec la définition
usuelle des puissances entières. Une différence cependant, abest défini pour tout a∈lorsque b∈∗,
mais abn’est défini que pour a∈∗
+lorsque b∈n’est pas un entier naturel non nul.
– Si b=0, alors a0=e0lna=e0=1. La convention usuelle sur les puissances est respectée.
•Théorème (6) (formules de calculs)
Pour tous a,c∈∗
+, pour tous b,d∈, on a :
ab+d=abad, (ac)b=abcb,abd =(ab)d,a−b=1
ab
en particulier :
– pour tous x,y∈: ex y =(ex)y
– pour tous x ∈+,y∈:ln xy=yln x
•Remarque : Ces formules généralisent les formules connues pour les puissances entières.
•Preuve de (6)
On calcule :
ab+d=e(b+d)lna=eblnaedlna=abad
puis
(ac)b=eblnac =eblna+blnc=eblnaeblnc=abcb
puis
(ab)d=edlnab=edlnebln a=edb ln a=abd
puis
a−b=e−blna=1
ebln a=1 ab
En particulier, pour tous x,y∈:
ex y =el n(ex)y=(ex)y
Et, pour tous x ∈∗
+,y∈:
ln xy=lneylnx=ylnx
•Théorème (7) (fonctions puissances)
Soit α∈. On considère la fonction
fα:∗
+−→
x7−→ xα
Alors :
– fαest dérivable sur ∗
+et f ′ α:x7→αxα−1
– Si α>0, alors fαest prolongeable par continuité en 0en posant fα(0) =0
– Si α>0, alors lim
x→+∞ fα(x)=+∞ et lim
x→0+fα(x)=0+,
si α<0, alors lim
x→+∞ fα(x)=0+et lim
x→0+fα(x)=+∞
– Si α6=0, alors fαest bijective de ∗
+dans ∗ +de bijection réciproque f 1
α
. En particulier, lorsque α>0, fα
est une bijection de +dans +.
•Remarque : La fonction définie sur +par f(x)=pxest la fonction f1
2:x7→ x1
2. Elle est la bijection
réciproque de x7→ x2sur +et sa dérivée est f′
1
2
:x7→ 1
2x−1
2=1
2px.
•Preuve de (7)
– On a : ∀x∈∗
+, on a fα(x)=xα=eαln x
Par composition, fαest dérivable sur ∗
+et on a :
∀x∈∗
+,f′ α(x)=α×1
x×eαlnx=αx−1xα=αxα−1
– Si α>0, alors αln x−−−−→
x→0+−∞ donc par composition xα=eαlnx−−−−→ x→0+0+qui est une limite
finie. Donc fαse prolonge par continuité en 0en posant fα(0) =0.
– On a déjà calculer la limite en 0dans le cas α>0. En +∞, comme αln x−−−−−→
x→+∞ +∞ on a le
résultat par composition. Dans le cas α<0, la composition échange les limites (vérifiez...).
– Si α6= 0, alors fαest continue (car dérivable) sur ∗
+, elle est strictement monotone sur ∗ +
(puisque sa dérivée est x 7→ αxα−1=αe(α−1)lnxqui est du signe strict de α), et fα(∗
+)=∗ +.
Ainsi, fαest bijective de ∗
+dans ∗ +.
Comme d’après les formules de calculs on a : ∀x∈∗
+,(xα)1
α=xα1 α=x1=x, on a bien
(fα)−1=f1
α
.
Voici un petit bilan "culturel" sur les puissances :
– Si nest un entier naturel, par définition, xn=x×···×x
|{z }
nfois
(avec la convention x0=1), et cela est valable
pour tout xréel.
2/3

Fonctions usuelles
– Si nest un entier naturel non nul, alors par définition x−n=1
xn, et cela est valable pour tout xréel non
nul.
– Dans les autres cas, si αest un réel qui n’est pas un entier relatif (donc qui ne relève pas des cas précé-
dents), alors par définition, xα=eαln xet cela est valable pour tout xréel strictement positif.
De plus, les trois définitions coïncident pour les réels strictement positifs (remarque déjà faite).
Il y a encore des cas particuliers dans cette situation :
– Si α>0, alors x7→ xαest prolongeable par continuité en 0 en posant 0α=0, ce qui permet de définir xα
pour les réels positifs ou nuls.
C’est le cas de x7→ x1
2=px, cette fonction est bien sûr définie en 0.
– Dans le cas où nest un entier naturel non nul, on définit n
px=x1
n, cela est valable d’après ce qui
précède pour tout xréel positif ou nul.
Une autre interprétation est la suivante : x7→ n
pxest la bijection réciproque de x7→ xnsur +. Donc
dans le cas où nest impair, comme x7→ xnest une bijection de dans , on peut prolonger la fonction
x7→ n
pxà .
3/3