Fonctions usuelles - Lycée Militaire d`Aix-en

Compléments de ours 1
Fonctions usuelles
R
R
g (x) = e x − x. Alors par somme, g est dérivable sur et : ∀ x ∈ , g ′ (x) = e x − 1.
Or, g ′ (0) = 1 − 1 = 0. Ainsi, par croissance de exp sur , il vient : ∀ x > 0, g ′ (x) > 0, ce qui
montre que g est croissante sur + .
On calcule alors g (0) = e 0 − 0 = 1 > 0 et comme g est croissante, ∀ x > 0, g (x) > 1. En particulier, : ∀ x > 0, e x > x.
Enfin, par comparaison, e x −−−−−→ +∞.
x→+∞
1
Pour la limite en −∞, on a : ∀ x ∈ , e x = −x
e
Comme −x −−−−−→ +∞ et e y −−−−−→ +∞, par composition et passage à l’inverse, il vient
Ce document propose des rappels et des compléments sur le cours d’étude de fonctions fait en Lycée. Y sont
abordés des résultats ne figurant plus explicitement au programme du lycée (vous les avez probablement
vus malgré tout), mais nécessaires en classe prépa.
Les définitions et théorèmes qui suivent sont à connaître absolument. Les preuves sont là à titre culturel, il
n’est pas du tout demandé de les apprendre, mais leur lecture ne peut qu’être profitable (surtout après le
premier chapitre sur les fonctions, car plusieurs démonstrations nécessitent des résultats de ce chapitre).
R
R
R
I. Exponentielle
x→−∞
y→+∞
e x −−−−−→ 0+ .
x→−∞
• Théorème-définition (1) (exponentielle)
La fonction exponentielle, notée exp, est l’unique fonction f dérivable sur
note :
−→
exp :
x 7−→ e x
R
R
R telle que f = f ′ et f (0) = 1. On
II. Logarithme
• Théorème-définition (3) (logarithme)
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp. Elle est définie sur
∗
+ et est caractérisée par :
∀ x ∈ ∗+ , ∀ y ∈ , ln x = y ⇐⇒ x = e y
R
• Remarque : On admet ce théorème, qui repose sur la théorie des équations différentielles (qui ne sont
pas au programme d’ECS). On montre de façon générale, pour a ∈ fixé, qu’il existe un unique fonction
dérivable vérifiant f ′ = a f et f (0) = 1. C’est x 7→ e ax . C’est cette relation fonctionnelle qui motivera, au
chapitre 2, la définition de l’exponentielle complexe.
R
x→−∞
• Théorème (4) (propriétés fondamentales à retenir !)
x→+∞
– ∀ x, y ∈
R
R
R
R
R
R∗+,
ln(x y) = ln x + ln y. En particulier : ln
– ln est une fonction strictement croissante sur
– On a : lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
– Par définition, exp est dérivable sur , de dérivée exp′ : x 7→ e x , et vérifie e 0 = 1.
– Soit y ∈ . Pour tout x ∈ , on note f (x) = e x+y . Cette fonction est dérivable sur
(par
′
x+y
y
composition) et ∀ x ∈ , f (x) = e
. Par ailleurs, f (0) = e . Ainsi f est proportionnelle à
exp, précisément, pour tout x ∈ , f (x) = e y × e x .
En particulier, avec y = −x il vient : 1 = e 0 = e x−x = e x × e −x . Cela montre en particulier que
1
e x 6= 0 et on peut donc écrire : e −x = x .
e
ex
x−y
x −y
Puis avec x et −y : e
=e e = y .
e
– On écrit, pour tout x ∈ , e x = e x/2+x/2 = e x/2 × e x/2 = (e x/2 )2 > 0. Puis, comme e x 6= 0, on a :
∀ x ∈ , e x > 0.
– La dérivée de exp est : x 7→ e x et comme pour tout x ∈ , e x > 0, exp est strictement croissante
sur .
– On montre que : ∀ x > 0, e x > x. En effet, soit g la fonction définie sur
par la formule :
R
R
R
R
x→−∞
x→+∞
R∗+. Il existe donc une bijection
réciproque, que l’on peut appeler logarithme et noter ln, qui est
caractérisée par : ∀ x ∈ R∗+ , ∀ y ∈ R, ln x = y ⇐⇒ x = e y
R
• Preuve de (2)
R
On utilise un théorème du chapitre sur les fonctions : la fonction exp est continue sur , strictement croissante sur , vérifie lim e x = 0+ et lim e x = +∞, donc exp est bijective de dans
– La fonction exp est dérivable, de dérivée exp′ = exp, et vérifie e 0 = 1.
ex
1
– ∀ x, y ∈ , e x+y = e x e y . En particulier : e −x = x et e x−y = y
e
e
– Pour tout x ∈ , e x > 0.
– exp est strictement croissante sur .
– On a : lim e x = 0+ et lim e x = +∞.
R
R
• Preuve de (3)
• Théorème (2) (propriétés fondamentales à retenir !)
R
R
x→0+
x→+∞
– La fonction ln est dérivable sur
– On a : ln x > 0 ⇐⇒ x > 1
R
• Preuve de (4)
– Pour tous x, y ∈
R
R∗+ :
R∗+.
1
= − ln x et ln xy = ln x − ln y.
x
R∗+, de dérivée ln′ : x 7→ x1 , vérifie ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
e lnx y = x y
et e ln x+ln y = e lnx e ln y = x y
Donc : e lnx y = e lnx+ln y donc ln x y = ln x + ln y
1
1
En particulier, si y = x1 , on a : 0 = ln 1 = ln x = ln x − ln donc ln x1 = − ln x
x
x
Et : ln xy = ln x 1y = ln x + ln 1y = ln x − ln y
– La bijection réciproque d’une fonction strictement croissante est strictement croissante (cha-
R
R
1/3
III. Puissanes
ompléments de ours 1
Fonctions usuelles
R
R
puis
pitre 3), donc ln est strictement croissante sur ∗+ (puisque exp l’est sur ).
– De même, comme e x −−−−−→ 0+ donc ln x −−−−→
−∞ et comme e x −−−−−→ +∞ donc ln x −−−−−→
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x→0+
+∞.
– La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée ne s’annule pas sur ∗+ . D’après le théorème
de dérivation de la fonction réciproque (chapitre 3), ln est dérivable sur ∗+ et vérifie :
R
∀x ∈
R∗+,
R
ln′ (x) =
En particulier, pour tous x, y ∈
R
1
1
1
=
=
exp′ (ln x) e ln x x
On a aussi : e 0 = 1 ⇐⇒ 0 = ln 1 et e 1 = e ⇐⇒ 1 = ln e.
– Enfin, comme ln 1 = 0 et que ln est strictement croissante sur
e 0 ⇐⇒ x > 1.
Et, pour tous x ∈
R:
a −b = e −b ln a =
e x y = e l n(e
R∗+, y ∈ R :
ab
= (e x ) y
ln x y = ln e y lnx = y ln x
• Théorème (7) (fonctions puissances)
R. On considère la fonction
fα :
III. Puissances
R∗+
x
R
−→
7−→ x α
Alors :
– f α est dérivable sur ∗+ et f α′ : x 7→ αx α−1
– Si α > 0, alors f α est prolongeable par continuité en 0 en posant f α (0) = 0
– Si α > 0, alors lim f α (x) = +∞ et lim+ f α (x) = 0+ ,
R
• Définition (5)
R∗+ et b ∈ R. On définit ab comme étant le réel : e b ln a .
x→+∞
x→0
si α < 0, alors lim f α (x) = 0+ et lim f α (x) = +∞
x→+∞
R
N
R
b fois
usuelle des puissances entières. Une différence cependant, a b est défini pour tout a ∈ lorsque b ∈
mais a b n’est défini que pour a ∈ ∗+ lorsque b ∈ n’est pas un entier naturel non nul.
– Si b = 0, alors a 0 = e 0ln a = e 0 = 1. La convention usuelle sur les puissances est respectée.
R
• Théorème (6) (formules de calculs)
R
∗
+,
pour tous b, d ∈
R
N∗,
réciproque de x 7→ x 2 sur
R
1
α
R+ par f (x) = px est la fonction f
R+ et sa dérivée est f ′ : x 7→ 12 x −
1
2
R
1
2
. En particulier, lorsque α > 0, f α
1
1
2
= 2p1 x .
: x 7→ x 2 . Elle est la bijection
– On a : ∀ x ∈ ∗+ , on a f α (x) = x α = e α ln x
Par composition, f α est dérivable sur ∗+ et on a :
R, on a :
(ac)b = a b c b ,
a bd = (a b )d ,
a −b =
1
R
∀x ∈
ab
R∗+,
f α′ (x) = α ×
1
× e α ln x = αx −1 x α = αx α−1
x
– Si α > 0, alors α ln x −−−−→
−∞ donc par composition x α = e α ln x −−−−→
0+ qui est une limite
+
+
en particulier :
– pour tous x, y ∈ : e x y = (e x ) y
– pour tous x ∈ + , y ∈ : ln x y = y ln x
R
R
x→0+
• Remarque : La fonction définie sur
• Preuve de (7)
a b+d = a b a d ,
R∗+ dans R∗+ de bijection réciproque f
– Si α 6= 0, alors f α est bijective de
est une bijection de + dans + .
• Remarques :
– Si b ∈ ∗ , alors e b ln a = |e ln a × ·{z
· · × e ln a} = (e ln a )b = a b : la définition proposée coïncide avec la définition
Pour tous a, c ∈
)y
1
=
R∗+, on a : ln x > 0 ⇐⇒ x >
Soit α ∈
Soient a ∈
x
1
e b ln a
x→0
x→0
finie. Donc f α se prolonge par continuité en 0 en posant f α (0) = 0.
– On a déjà calculer la limite en 0 dans le cas α > 0. En +∞, comme α ln x −−−−−→ +∞ on a le
R
x→+∞
résultat par composition. Dans le cas α < 0, la composition échange les limites (vérifiez...).
– Si α 6= 0, alors f α est continue (car dérivable) sur ∗+ , elle est strictement monotone sur ∗+
(puisque sa dérivée est x 7→ αx α−1 = αe (α−1) lnx qui est du signe strict de α), et f α ( ∗+ ) = ∗+ .
Ainsi, f α est bijective de ∗+ dans ∗+ .
1
1
Comme d’après les formules de calculs on a : ∀ x ∈ ∗+ , (x α ) α = x α α = x 1 = x, on a bien
( f α )−1 = f 1 .
R
• Remarque : Ces formules généralisent les formules connues pour les puissances entières.
R
• Preuve de (6)
On calcule :
a b+d = e (b+d) ln a = e b ln a e d ln a = a b a d
R
R
R
R
R
α
puis
(ac)b = e b ln ac = e b ln a+b ln c = e b ln a e b lnc = a b c b
Voici un petit bilan "culturel" sur les puissances :
– Si n est un entier naturel, par définition, x n = |x × ·{z
· · × x} (avec la convention x 0 = 1), et cela est valable
puis
b
(a b )d = e d ln a = e d lne
b ln a
n fois
= e db ln a = a bd
pour tout x réel.
2/3
III. Puissanes
Fonctions usuelles
– Si n est un entier naturel non nul, alors par définition x −n =
1
, et cela est valable pour tout x réel non
xn
nul.
– Dans les autres cas, si α est un réel qui n’est pas un entier relatif (donc qui ne relève pas des cas précédents), alors par définition, x α = e α ln x et cela est valable pour tout x réel strictement positif.
De plus, les trois définitions coïncident pour les réels strictement positifs (remarque déjà faite).
Il y a encore des cas particuliers dans cette situation :
– Si α > 0, alors x 7→ x α est prolongeable par continuité en 0 en posant 0α = 0, ce qui permet de définir x α
pour les réels positifs ou nuls.
p
1
C’est le cas de x 7→ x 2 = x, cette fonction est bien sûr définie en 0.
p
1
– Dans le cas où n est un entier naturel non nul, on définit n x = x n , cela est valable d’après ce qui
précède pour tout x réel positif ou nul.
p
Une autre interprétation est la suivante : x 7→ n x est la bijection réciproque de x 7→ x n sur + . Donc
dans le cas où n est impair, comme x 7→ x n est une bijection de dans , on peut prolonger la fonction
p
x 7→ n x à .
R
R
R
R
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ompléments de ours 1