MATH 204 ÉNONCÉS DES EXERCICES 2

MATH 204
ÉNONCÉS DES EXERCICES 2
A. ZEYTİN
(1) Déterminez tout les sous-groupes de A3 , A4 , S3 et S4 . Lequels sont normaux?
(2) Pour les groupes est leurs sous-groupes suivants, déterminez tout les éléments de G/H explicitement, montrez
que H est normal, et donc construissez la table de multiplication de G/H:
I G = D2·5 et H = hσi = {e, σ, σ2 , . . . , σ4 }1
I G = A4 et H = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
I G = S4 et H = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
(3) Montrez que Sn n’est pas un groupe abélien pour n ≥ 3.
(4) Déterminez l’ordre des éléments suivants:
I (1, 2)(3, 4) ∈ S6
I (1, 2, 3)(4, 5, 6) ∈ S6
I (1,
2, 3)(4,
5, 6, 7) ∈ S7
1 −1
I
∈ SL2 (R)
1 0
(5) Déterminez le plus grand entier naturel k tel que les groupes donnés possède un élément d’ordre k:
I Dn
I S5
I S6
I S7
I Sn
I A4
(6) Décidez si les applications suivantes sont homomorphismes:
I
ϕ : R −→ Z
x
7→
dxe
I
ϕ : R −→ Z
x
7→
bxc
I
ϕ : R \ {0}
x
−→ R \ {0}
7→
|x|
I
ϕ : M(n, R)
A
−→
7→
R
det(A)
(7) Soient G, G 0 deux groupes; où G est abélien et ϕ : G −→ G 0 un homomorphisme.
I Montrez que im(ϕ) est un sous-groupe abélien de G 0 .
I En déduisez que si ϕ est surjectif, alors G 0 est un groupe abélien.
(8) Soit F(R, R) l’ensemble de fonctions de R vers R.
1 Rappelez
que σ est la rotation de pentagone régulier d’angle 2π/5.
I Montrez que F(R, R) est un groupe abélien sous l’addition définié par:
(f + g)(t) = f(t) + g(t).
I Rappelez que (R, +) est un groupe abélien. Pour un nombre réel to fixé, montrez que l’application:
ϕto : F(R, R)
f(t)
−→
7→
R
f(to )
est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ).
(9) Soit C([0, 1], R) est l’ensemble de fonctions continues de [0, 1] vers R. Montrez que
ϕ : C([0, 1], R) −→ R
Z1
f 7→
f(t)dt
0
est un homomorphisme, où R est considéré comme un groupe sous l’addition usuelle. Est-il injectif?, surjectif?
Déterminez ker(ϕ).
(10) On considère Z et Z/nZ comme un groupe sous l’addition. Montrez que pour tout n ∈ N, l’application
ϕ : Z −→ Z/nZ
m
7→
[m]
est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ).
(11) Soit ϕ : G −→ G 0 un homomorphisme et H un sous-groupe de G. Montrez que
I si H est un sous-groupe de G alors ϕ(H) = {g 0 ∈ G 0 : g 0 = ϕ(h) pour certain h ∈ H} est un sous-groupe
de G 0 .
I si H 0 est un sous-groupe de G 0 alors ϕ−1 (H 0 ) = {g ∈ G : ϕ(g) ∈ H 0 } est un sous-groupe de G 0 .
(12) Soient G un groupe quelconque, go ∈ G un élément fixé de G. Montrez que l’application ϕ : Z −→ G définié
par ϕ(n) = (go )n est un homomorphisme.
(13) Soient G, G 0 , G 00 trois groupes, ϕ1 : G −→ G 0 et ϕ2 : G 0 −→ G 00 homomorphismes. Montrez que ϕ2 ◦ϕ1 : G −→
G 00 est un homomorphisme.
(14) Soit G un groupe et soit Aut(G) l’ensemble d’isomorphismes de G vers G2 .
I En utilisant Exercice 13 montrez que Aut(G) est un groupe.
I Pour go ∈ G fixé, montrez que l’application:
ιgo : G
x
−→ G
7→
go xg−1
o
−→
Aut(G)
est un automorphisme de G, donc un élément de Aut(G).
I Montrez que l’application:
ϕ: G
g
7→
ιg
est un homomorphisme.
(15) Montrez que il n’existe pas un isomorphisme entre:
I (R, +) et (C, +)
I (Q, +) et (Z, +)
I (R, +) et (Q, +)
(16) Montrez que si n 6= m alors il n’existe pas un isomorphisme entre Sn et Sm .
(17) Soit G un groupe. Montrez que l’application ϕ : G −→ G, définie par ϕ(x) = x−1 est un isomorphisme si et
seulement si G est abélien.
2 Un
tel isomorphisme est appellé un automorphisme de G.