MATH 204 ÉNONCÉS DES EXERCICES 2

MATH 204
ÉNONCÉS DES EXERCICES 2
A. ZEYT˙ IN
(1) Déterminez tout les sous-groupes de A3,A4,S3et S4. Lequels sont normaux?
(2) Pour les groupes est leurs sous-groupes suivants, déterminez tout les éléments de G/H explicitement, montrez
que Hest normal, et donc construissez la table de multiplication de G/H:
IG=D2·5et H=hσi={e, σ, σ2,...,σ4}1
IG=A4et H={(1),(1, 2)(3, 4),(1, 3)(2, 4),(1, 4)(2, 3)}
IG=S4et H={(1),(1, 2)(3, 4),(1, 3)(2, 4),(1, 4)(2, 3)}
(3) Montrez que Snn’est pas un groupe abélien pour n≥3.
(4) Déterminez l’ordre des éléments suivants:
I(1, 2)(3, 4)∈ S6
I(1, 2, 3)(4, 5, 6)∈ S6
I(1, 2, 3)(4, 5, 6, 7)∈ S7
I1−1
1 0 ∈2(R)
(5) Déterminez le plus grand entier naturel ktel que les groupes donnés possède un élément d’ordre k:
IDn
IS5
IS6
IS7
ISn
IA4
(6) Décidez si les applications suivantes sont homomorphismes:
I
ϕ:R−→Z
x7→dxe
I
ϕ:R−→Z
x7→bxc
I
ϕ:R\ {0}−→R\ {0}
x7→|x|
I
ϕ:M(n, R)−→R
A7→det(A)
(7) Soient G, G0deux groupes; où Gest abélien et ϕ:G−→G0un homomorphisme.
IMontrez que (ϕ)est un sous-groupe abélien de G0.
IEn déduisez que si ϕest surjectif, alors G0est un groupe abélien.
(8) Soit F(R,R)l’ensemble de fonctions de Rvers R.
1Rappelez que σest la rotation de pentagone régulier d’angle 2π/5.

IMontrez que F(R,R)est un groupe abélien sous l’addition définié par:
(f+g)(t) = f(t) + g(t).
IRappelez que (R,+) est un groupe abélien. Pour un nombre réel tofixé, montrez que l’application:
ϕto:F(R,R)−→R
f(t)7→f(to)
est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ).
(9) Soit C([0, 1],R)est l’ensemble de fonctions continues de [0, 1]vers R. Montrez que
ϕ:C([0, 1],R)−→R
f7→Z1
0
f(t)dt
est un homomorphisme, où Rest considéré comme un groupe sous l’addition usuelle. Est-il injectif?, surjectif?
Déterminez ker(ϕ).
(10) On considère Zet Z/nZcomme un groupe sous l’addition. Montrez que pour tout n∈N, l’application
ϕ:Z−→Z/nZ
m7→[m]
est un homomorphisme. Est-il injectif?, surjectif? Déterminez ker(ϕ).
(11) Soit ϕ:G−→G0un homomorphisme et Hun sous-groupe de G. Montrez que
Isi Hest un sous-groupe de Galors ϕ(H) = {g0∈G0:g0=ϕ(h)pour certain h∈H}est un sous-groupe
de G0.
Isi H0est un sous-groupe de G0alors ϕ−1(H0) = {g∈G:ϕ(g)∈H0}est un sous-groupe de G0.
(12) Soient Gun groupe quelconque, go∈Gun élément fixé de G. Montrez que l’application ϕ:Z−→Gdéfinié
par ϕ(n)=(go)nest un homomorphisme.
(13) Soient G, G0, G00 trois groupes, ϕ1:G−→G0et ϕ2:G0−→G00 homomorphismes. Montrez que ϕ2◦ϕ1:G−→
G00 est un homomorphisme.
(14) Soit Gun groupe et soit (G)l’ensemble d’isomorphismes de Gvers G2.
IEn utilisant Exercice 13 montrez que (G)est un groupe.
IPour go∈Gfixé, montrez que l’application:
ιgo:G−→G
x7→goxg−1
o
est un automorphisme de G, donc un élément de (G).
IMontrez que l’application:
ϕ:G−→(G)
g7→ιg
est un homomorphisme.
(15) Montrez que il n’existe pas un isomorphisme entre:
I(R,+) et (C,+)
I(Q,+) et (Z,+)
I(R,+) et (Q,+)
(16) Montrez que si n6=malors il n’existe pas un isomorphisme entre Snet Sm.
(17) Soit Gun groupe. Montrez que l’application ϕ:G−→G, définie par ϕ(x) = x−1est un isomorphisme si et
seulement si Gest abélien.
2Un tel isomorphisme est appellé un automorphisme de G.