MATH 204 ÉNONCÉS DES EXERCICES 6

MATH 204
ÉNONCÉS DES EXERCICES 6
A. ZEYT˙ IN
(1) Soient Aet Bdeux anneux. Sur A×Bon définit:
(a, b)+(a0, b0) := (a+a0, b +b0)
(a, b) (a0, b0) := (a a0, b b0)
pour tout a, a0∈A,b, b0∈B. Montrez que A×Bmuni de ces operations binaires est un anneux. En déduissez
que si A1,...,ANsont anneux, alors A1×. . . ×ANest un anneux, aussi.
(2) Déterminez tous les éléments inversibles et diviseurs de zéro des anneux suivants:
IZ/5Z
IZ/7Z
IZ/9Z
IZ/27Z
IZ/pZ; où pest un nombre premier
IZ/p2Z; où pest un nombre premier
IZ/p3Z; où pest un nombre premier
IZ/3Z×Z/5Z
IZ/3Z×Z/10Z
IZ/6Z×Z/10Z
IZ/9Z×Z/25Z
(3) Soit C=C(R,R) := {f:R−→R|fest une fonction continue}. Sur Con définit:
(f+g)(t) := f(t) + g(t)
(f g)(t) := f(t)g(t)
IMontrez que Cest un anneu, muni de ces operations binaires.
IPour un élément xode Rfixé, montrez que l’application
ϕ:C−→R
f7→f(xo)
est un homomorphisme de Cvers R.
(4) Déterminez tout les homomorphismes
Ide Zvers Z
Ide Zvers Z×Z
Ide Z×Zvers Z
(5) Soit a, b ∈Z/pZ. Montrez que (a+b)p=ap+bp. Interprétez cette équation en termes de homomorphismes.
(6) Soient A, B deux anneux. On dit que Aet Bsont isomorphes s’il existe un homomorphisme ϕ:A−→Bqui
est injectif et surjectif, c’est-à-dire une bijection. Montrez que
I2Zet 3Z
IRet C
ne sont pas isomorphes. Indication: Supposer qu’il existe un isomorphisme entre eux. Essayer de trouver des contra-
dictions.
(7) Montrez que Aest un anneu commutatif si et seulement si a2−b2= (a−b)(a+b).
(8) Soit Aun anneu. Un élément a∈Aest dit idempotent si a2=a.
IDéterminez tous les éléments idempotents dans Z/6Z.
IDéterminez tous les éléments idempotents dans Z/20Z.

IDéterminez tous les éléments idempotents dans Z/6Z×Z/12Z.
IDéterminez tous les éléments idempotents dans un corps k.
IMontrez que l’ensemble de tout les éléments idempotents dans Aest fermé sous multiplication.